#A07 · Algebra & Number Theory · Lv.2View in 3D Mind-Map

Arithmetic & Geometric Series Sum

Carl Friedrich Gauss & Archimedes · 1785 CE

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r},\quad S_\infty = \frac{a}{1 - r} \;(|r|<1)

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

Computes finite and infinite sums of progressions in closed form; for |r| < 1, an infinite geometric series converges to a / (1 - r).

🧮 Live Formula Calculator & Plotter

First term a

Ratio r

Terms n

S_{8} = \frac{10(1 - 0.5^{8})}{1 - 0.5} = 19.922

부분합 S_8

19.9219

Infinite Sum S_∞

20.0000

n번째 항 a_n

0.0781

Prerequisite Path (3 STEP)

Click steps in order to follow the 3D neon path from basics to target.

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

S_n 에 공비 r을 곱한 r·S_n 을 원래 S_n 에서 빼면 중간 항들이 도미노처럼 모두 지워지고 첫째항 a와 마지막 항 ar^n 만 남습니다(망원급수 원리).

Step 1.1단계: S_n = a + ar + ar² + … + ar^(n-1) 의 양변에 r을 곱합니다 → rS_n = ar + ar² + … + ar^n
Step 2.2단계: 두 식을 빼면 (1 - r)S_n = a - ar^n = a(1 - r^n) 이 됩니다.
Step 3.3단계: r ≠ 1 일 때 S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) 이며, |r| < 1 이고 n → ∞ 이면 r^n → 0 이 되어 S_∞ = a/(1 - r)

Reinforcement Learning discounted return (∑ γ^t R_t) convergence and compound interest valuation

#RL Discounted Return#Quant Finance DCF#Algorithm Loop Analysis

const geoSum = (a: number, r: number, n: number) => a * (1 - Math.pow(r, n)) / (1 - r);