#G10 · 几何与三角函数 (Geometry & Trig) · Lv.3在3D思维导图中查看

贝塞尔曲线 (Bézier Curve) 参数方程

Pierre Bézier & Paul de Casteljau · 1962년

B(t)=∑k=0n(nk)(1−t)n−ktkPk(0≤t≤1)\mathbf{B}(t) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k \quad (0 \le t \le 1)
B2(t)=(1−t)2P0+2(1−t)tP1+t2P2\mathbf{B}_2(t) = (1-t)^2\mathbf{P}_0 + 2(1-t)t\mathbf{P}_1 + t^2\mathbf{P}_2

利用二项式伯恩斯坦基函数对控制点进行递归线性插值(Lerp)，是现代矢量字体、SVG路径、CAD工业设计与3D动画轨迹的核心公式。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器
参数 t
控制点 P1y
B2(0.50)=0.25P0+0.50P1(8)+0.25P2=4.500B_2(0.50) = 0.25P_0 + 0.50P_1(8) + 0.25P_2 = 4.500
베지에 곡선 높이 B_y(0.5)
4.500
번스타인 가중치 합 ∑B_k
1.000
제어점 P₁ 가중치 2(1-t)t
50.0%

先修概念路径 (Prerequisite Path) (9 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A02乘法公式与因式分解恒等式
STEP 2#A03指数法则与根式运算
STEP 3#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)
STEP 4#A01等式性质与一元一次方程
STEP 5#A04一元二次方程求根公式与判别式
STEP 6#A08二项式定理与帕斯卡三角形
STEP 7#G02二维与三维空间欧几里得距离公式
STEP 8#G07圆锥曲线 (抛物线·椭圆·双曲线) 方程
STEP 9#G10贝塞尔曲线 (Bézier Curve) 参数方程

几何与直观原理解析

선분 P₀P₁ 위의 내분점과 선분 P₁P₂ 위의 내분점을 구한 뒤, 그 두 점을 다시 비율 t:(1-t)로 선형보간(Lerp)하여 이으면 마법처럼 부드러운 포물선 곡선이 그려집니다(드 카스텔조 알고리즘).

分步公式推导过程

  1. Step 1.1단계: 1차 선형보간 L₀(t) = (1-t)P₀ + tP₁ 과 L₁(t) = (1-t)P₁ + tP₂ 를 구합니다.
  2. Step 2.2단계: 두 점을 다시 보간하면 B₂(t) = (1-t)L₀(t) + tL₁(t) = (1-t)²P₀ + 2(1-t)tP₁ + t²P₂
  3. Step 3.3단계: 이를 n차로 반복하면 이항정리 계수 nCk (1-t)^(n-k) t^k 가 가중치로 나타납니다.

AI与编程实战应用

SVG矢量图形、CSS动画cubic-bezier缓动函数、字体渲染与自动驾驶平滑轨迹规划

#SVG & Font Rendering#CSS cubic-bezier#3D Camera Splines
const quadBezier = (p0:number, p1:number, p2:number, t:number) => (1-t)*(1-t)*p0 + 2*(1-t)*t*p1 + t*t*p2;

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