#P08 · 概率统计与AI优化 (Probability & AI) · Lv.3在3D思维导图中查看

皮尔逊相关系数与最小二乘线性回归 (OLS)

Francis Galton, Karl Pearson & Carl Friedrich Gauss · 1895년

r_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}, \quad \hat{\beta}_1 = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)} = r_{XY}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}

\hat{y} = \hat{\beta}_1 x + \hat{\beta}_0, \quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}

度量两个变量线性相关强度（-1≤r≤1）的皮尔逊相关系数，以及最小化残差平方和的最小二乘回归直线公式。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

协方差 Cov(X,Y)

标准差 σ_X

标准差 σ_Y

r = \frac{18}{5\times 4.5} = 0.800, \quad \hat{\beta}_1 = 0.720

피어슨 상관계수 r

0.8000

결정계수 R² (설명력)

64.0%

회귀 기울기 β̂₁

0.7200

先修概念路径 (Prerequisite Path) (20 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 2#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 3#P01排列与组合 (计数原理)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 4#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 5#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 6#L01向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 8#A06对数运算法则与换底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 9#G04单位圆三角函数与基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#G02二维与三维空间欧几里得距离公式

d(P

STEP 11#C01极限的定义与自然常数 e 的诞生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 12#G05正弦定理与余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 13#P02条件概率与乘法定理

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 14#A08二项式定理与帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 15#C02导数定义与瞬时变化率 (切线斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 16#L02向量点积(内积)与余弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 17#P04数学期望与方差 (随机变量矩)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 18#C03乘积法则与复合函数链式法则 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 19#C08偏导数与梯度向量 (∇f 多元微积分)

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}

STEP 20#P08皮尔逊相关系数与最小二乘线性回归 (OLS)

r_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X

几何与直观原理解析

중심화한 데이터 벡터의 내적(코사인 유사도)이 곧 피어슨 상관계수 r이며, 잔차 제곱합을 미분해 0으로 두면 회귀 기울기가 유도됩니다.

分步公式推导过程

Step 1.손실함수 L(β₀, β₁) = ∑(y_i - (β₁x_i + β₀))²을 β₀, β₁에 대해 각각 편미분하여 0으로 둡니다.
Step 2.∂L/∂β₀ = 0에서 회귀직선이 반드시 무게중심 (x̄, ȳ)를 지남을 얻습니다: β₀ = ȳ - β₁x̄.
Step 3.∂L/∂β₁ = 0을 정리하면 β₁ = Cov(X,Y) / Var(X) = r (σ_Y / σ_X)가 도출됩니다.

AI与编程实战应用

机器学习监督学习线性回归预测器、量化金融投资组合Beta系数以及特征相关性分析的基石。

#Linear Regression#Supervised ML#Quant Finance Beta#Feature Engineering

const slope = covXY / varX; const intercept = meanY - slope * meanX; const r = covXY / Math.sqrt(varX * varY);

概率统计与AI优化 (Probability & AI) — 同领域相关公式

Lv.2 · LLM Next-Token

Lv.2 · Reinforcement Learning

Lv.3 · Diffusion Models

#P06