#G02 · 几何与三角函数 (Geometry & Trig) · Lv.2在3D思维导图中查看

二维与三维空间欧几里得距离公式

René Descartes · 1637년

d(P, Q) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

\|P - Q\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (p_i - q_i)^2}

通过笛卡尔解析几何将几何点映射为坐标(x,y,z)，连续应用勾股定理计算三维及n维空间两点间的直线距离。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

位移 Δx

位移 Δy

位移 Δz

d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (12)^2} = 13.000

3D 거리 d (L₂)

13.0000

2D 바닥 투영 거리

5.0000

맨해튼 거리 L₁

19.0

先修概念路径 (Prerequisite Path) (5 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G02二维与三维空间欧几里得距离公式

d(P

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (6)

#G06三角函数和差角公式与二倍角公式 #G07圆锥曲线 (抛物线·椭圆·双曲线) 方程 #G08球坐标系转换与球的体积·表面积 #G09欧拉多面体公式与拓扑不变量 #G10贝塞尔曲线 (Bézier Curve) 参数方程 #L01向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化

几何与直观原理解析

직육면체 상자의 바닥 대각선 길이 제곱은 Δx² + Δy² 이고, 여기에 높이 Δz² 을 한 번 더 피타고라스 정리로 더하면 3차원 공간 대각선 길이 √(Δx² + Δy² + Δz²) 이 됩니다.

分步公式推导过程

Step 1.1단계: xy평면 투영 거리 d_xy² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² 을 피타고라스 정리로 구합니다.
Step 2.2단계: 바닥 대각선 d_xy 와 수직 높이 (z₂ - z₁) 이 이루는 직각삼각형에 다시 피타고라스 정리를 적용합니다.
Step 3.3단계: d² = d_xy² + (z₂ - z₁)² = Δx² + Δy² + Δz² 이므로 제곱근을 취해 거리를 얻습니다.

AI与编程实战应用

机器学习KNN分类、K-Means聚类距离度量与3D游戏A*寻路算法启发式函数

#K-Means & KNN ML#A* Pathfinding#3D Spatial Query

const dist3D = (dx: number, dy: number, dz: number) => Math.hypot(dx, dy, dz);

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