#L07 · 线性代数 (Linear Algebra) · Lv.3在3D思维导图中查看

2D·3D旋转矩阵与正交矩阵群 SO(3)

Leonhard Euler & Olinde Rodrigues · 1775년

R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ),R−1=RTR(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},\quad R^{-1} = R^T
det⁡(R)=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\det(R) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

保持物体尺寸与夹角不变(det R = 1)的正交旋转矩阵，其逆矩阵直接等于转置矩阵(R⁻¹=Rᵀ)，是3D游戏引擎与机器人姿态变换的核心。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器
原坐标 x
原坐标 y
旋转角 θ°
(x′,y′)=(1.41,  4.24),det⁡R(45∘)=1(x', y') = (1.41,\; 4.24), \quad \det R(45^\circ) = 1
회전 후 좌표 (x', y')
(1.414, 4.243)
보존된 벡터 길이 ||v||
4.472
회전각 θ
45°
원본 vR(45°)v

先修概念路径 (Prerequisite Path) (15 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A02乘法公式与因式分解恒等式
STEP 2#A03指数法则与根式运算
STEP 3#L01向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化
STEP 4#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)
STEP 5#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式
STEP 6#A01等式性质与一元一次方程
STEP 7#G02二维与三维空间欧几里得距离公式
STEP 8#G05正弦定理与余弦定理
STEP 9#L02向量点积(内积)与余弦相似度
STEP 10#L03三维向量叉积(外积)与表面法向量
STEP 11#G04单位圆三角函数与基本恒等式
STEP 12#L04矩阵乘法与线性变换复合 (GEMM)
STEP 13#G06三角函数和差角公式与二倍角公式
STEP 14#L05行列式(Determinant)与逆矩阵公式
STEP 15#L072D·3D旋转矩阵与正交矩阵群 SO(3)

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (2)

#L09奇异值分解(SVD)与主成分分析(PCA)#L10四元数(Quaternion)与3D球面线性插值(SLERP)

几何与直观原理解析

x축 기저벡터 (1, 0)을 θ만큼 회전시키면 (cos θ, sin θ)가 되어 1열에 들어가고, y축 기저벡터 (0, 1)을 θ만큼 회전시키면 (-sin θ, cos θ)가 되어 2열에 들어갑니다!

分步公式推导过程

  1. Step 1.1단계: 기저벡터 e₁=(1,0) 과 e₂=(0,1) 이 각도 θ 회전 후 이동한 좌표를 행렬의 열벡터로 배치합니다.
  2. Step 2.2단계: 임의의 점 (x, y) = x·e₁ + y·e₂ 에 선형성을 적용하면 x' = x cos θ - y sin θ, y' = x sin θ + y cos θ
  3. Step 3.3단계: 행렬식 det(R) = cos²θ - (-sin²θ) = 1 이므로 넓이가 보존되며, R(-θ) = R(θ)^T = R(θ)⁻¹ 입니다.

AI与编程实战应用

Three.js/Unreal/Unity 3D物体与相机旋转变换及自动驾驶激光雷达点云配准(ICP)

#3D Engine Rotation#LiDAR Point Cloud#Orthogonal Matrix SO(3)
const rot2D = (x:number, y:number, r:number) => ({ x: x*Math.cos(r) - y*Math.sin(r), y: x*Math.sin(r) + y*Math.cos(r) });

线性代数 (Linear Algebra) — 同领域相关公式

向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化
Lv.1 · L1/L2 Regularization
#L01
向量点积(内积)与余弦相似度
Lv.2 · LLM Self-Attention Q·K
#L02
三维向量叉积(外积)与表面法向量
Lv.2 · 3D Surface Normal
#L03
矩阵乘法与线性变换复合 (GEMM)
Lv.2 · GPU Tensor Cores GEMM
#L04
行列式(Determinant)与逆矩阵公式
Lv.3 · 3D Mouse Raycasting
#L05
高斯消元法与线性方程组求解 (Ax = b)
Lv.2 · Linear Solver Ax=b
#L06