#G06 · 几何与三角函数 (Geometry & Trig) · Lv.3在3D思维导图中查看
三角函数和差角公式与二倍角公式
Claudius Ptolemy · 150년
将两角和差的三角函数展开为单角三角函数乘积，是推导三角函数导数、二维旋转矩阵乘法与通信混频调制的基石。
🧮 即时公式计算器与图形绘制器
角度 α°
角度 β°
sin(α+β) = sin(75°)
0.9659
cos(α+β) = cos(75°)
0.2588
배각 sin(2α)
1.0000
先修概念路径 (Prerequisite Path) (9 STEP)
完整路径分析按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。
STEP 1#A01等式性质与一元一次方程
STEP 2#A02乘法公式与因式分解恒等式
STEP 3#A03指数法则与根式运算
STEP 4#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)
STEP 5#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式
STEP 6#G02二维与三维空间欧几里得距离公式
STEP 7#G04单位圆三角函数与基本恒等式
STEP 8#G05正弦定理与余弦定理
STEP 9#G06三角函数和差角公式与二倍角公式
🚀 由此公式衍生的进阶公式 (2)
几何与直观原理解析
단위원 위의 두 점 P(cos α, sin α)와 Q(cos β, sin β) 사이의 거리를 유클리드 거리 공식으로 구한 값과, 끼인각 (α-β)에 대해 제2코사인법칙으로 구한 값을 같다고 놓으면 즉시 증명됩니다.
分步公式推导过程
- Step 1.1단계: 단위원 위 두 점 A(cos α, sin α), B(cos β, sin β) 사이의 거리 제곱은 (cos α - cos β)² + (sin α - sin β)² = 2 - 2(cos α cos β + sin α sin β)
- Step 2.2단계: 한편 원점과 두 점 A, B가 이루는 삼각형에서 제2코사인법칙을 쓰면 AB² = 1² + 1² - 2·1·1·cos(α - β) = 2 - 2cos(α - β)
- Step 3.3단계: 두 식을 비교하면 cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 가 성립합니다.
AI与编程实战应用
推导2D/3D旋转矩阵复合运算 R(α)R(β)=R(α+β) 与5G无线通信正交调幅(QAM)解调
#Rotation Matrix Proof#5G QAM Modulation#Audio DSP
const sinAdd = (a: number, b: number) => Math.sin(a)*Math.cos(b) + Math.cos(a)*Math.sin(b);