#L01 · 线性代数 (Linear Algebra) · Lv.1在3D思维导图中查看

向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化

Hermann Grassmann & J. W. Gibbs · 1844년

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2},\quad \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|_2}

\|\mathbf{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |v_i|

度量向量长度(范数)并将其缩放为单位方向向量v̂，是3D游戏角色移动控制与机器学习L1/L2正则化防过拟合的基础。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

分量 vx

分量 vy

分量 vz

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = 5.000, \quad \hat{\mathbf{v}} = \left(0.60, 0.80, 0.00\right)

유클리드 노름 ||v||₂

5.0000

단위벡터 v̂ (x, y, z)

(0.60, 0.80, 0.00)

맨해튼 노름 ||v||₁

7.00

先修概念路径 (Prerequisite Path) (6 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G02二维与三维空间欧几里得距离公式

d(P

STEP 6#L01向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (3)

#C08偏导数与梯度向量 (∇f 多元微积分)#L02向量点积(内积)与余弦相似度 #L03三维向量叉积(外积)与表面法向量

几何与直观原理解析

게임에서 위쪽 키와 오른쪽 키를 동시에 누르면 이동 벡터가 (1, 1)이 되어 속도가 √2 ≈ 1.414배 빨라지는 버그가 생깁니다. 이를 L2 노름 ‖v‖로 나누어 정규화(v̂)하면 어느 방향이든 속도가 1로 일정해집니다!

分步公式推导过程

Step 1.1단계: n차원 벡터 v = (v₁, v₂, …, v_n) 의 원점 거리는 피타고라스 정리에 의해 ‖v‖₂ = √(v₁² + v₂² + … + v_n²)
Step 2.2단계: 각 성분을 ‖v‖₂ 로 나눈 벡터 v̂ = v / ‖v‖₂ 의 길이를 재면 ‖v̂‖₂ = ‖v‖₂ / ‖v‖₂ = 1 이 됩니다.
Step 3.3단계: 절댓값 합 ‖v‖₁ = ∑|v_i| 는 격자 도로를 따라 이동하는 맨해튼 거리(L1 Norm)를 나타냅니다.

AI与编程实战应用

深度学习L1/L2权重衰减正则化、LayerNorm层归一化与3D游戏角色斜向移动速度归一化

#L1/L2 Regularization#3D Vector Normalize#Embedding Norm

const norm2 = Math.hypot(vx, vy, vz); const unit = [vx/norm2, vy/norm2, vz/norm2];

线性代数 (Linear Algebra) — 同领域相关公式

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