#L02 · 线性代数 (Linear Algebra) · Lv.2在3D思维导图中查看

向量点积(内积)与余弦相似度

J. W. Gibbs & Oliver Heaviside · 1881년

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

\text{sim}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}

将简单的对应分量乘积之和(∑ a_i b_i)与几何夹角余弦完美等同，是LLM向量数据库检索(RAG)、Transformer注意力机制与3D光照渲染的绝对核心。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

向量 a_x

向量 a_y

向量 b_x

向量 b_y

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (4)(2) + (2)(4) = 16.0, \quad \cos\theta = 0.800

내적 a · b

16.000

코사인 유사도 cos θ

0.8000

두 벡터 사잇각 θ

36.9°

先修概念路径 (Prerequisite Path) (10 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#L01向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#G04单位圆三角函数与基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#G02二维与三维空间欧几里得距离公式

d(P

STEP 9#G05正弦定理与余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 10#L02向量点积(内积)与余弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (5)

#L03三维向量叉积(外积)与表面法向量 #L04矩阵乘法与线性变换复合 (GEMM)#L09奇异值分解(SVD)与主成分分析(PCA)#L10四元数(Quaternion)与3D球面线性插值(SLERP)#P08皮尔逊相关系数与最小二乘线性回归 (OLS)

几何与直观原理解析

두 벡터가 같은 방향(0°)을 바라보면 cos θ = 1 (유사도 최대), 수직(90°)이면 내적이 0 (무관함/직교), 반대 방향(180°)이면 -1 이 됩니다. 게임에서 적이 내 시야각 안에 있는지, 태양빛이 표면에 얼마나 수직으로 비치는지 단 한 줄로 판별합니다!

分步公式推导过程

Step 1.1단계: 두 벡터 a, b와 차이 벡터 (a - b)가 이루는 삼각형에 제2코사인법칙을 적용합니다 → ‖a - b‖² = ‖a‖² + ‖b‖² - 2‖a‖‖b‖cos θ
Step 2.2단계: 좌변을 성분별로 전개하면 ∑(a_i - b_i)² = ∑a_i² + ∑b_i² - 2∑a_i b_i 입니다.
Step 3.3단계: 양변의 ‖a‖² + ‖b‖² 을 소거하고 -2로 나누면 ∑ a_i b_i = ‖a‖‖b‖cos θ 가 완벽히 증명됩니다.

AI与编程实战应用

ChatGPT自注意力机制(Q·K^T点积)、RAG向量数据库余弦检索与3D图形兰伯特漫反射光照(N·L)

#LLM Self-Attention Q·K#RAG Vector DB#3D Lighting Shader

const cosSim = (a:number[], b:number[]) => dot(a,b) / (norm(a) * norm(b));

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