#C02 · 微积分与分析学 (Calculus) · Lv.2在3D思维导图中查看

导数定义与瞬时变化率 (切线斜率)

Isaac Newton & Gottfried Wilhelm Leibniz · 1684년

f′(x)=dfdx=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
ddx(xn)=nxn−1,ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1},\quad \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

令步长h趋于0将割线平均变化率转化为切线瞬时变化率，是物理学瞬时速度、函数极值分析与机器学习优化的基石。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器
切点 x₀
步长 h
f(2+0.5)−f(2)0.5=4.500→h→0f′(2)=4.000\frac{f(2+0.5)-f(2)}{0.5} = 4.500 \xrightarrow{h\to 0} f'(2) = 4.000
순간 접선 기울기 f'(2)
4.0000
할선 평균변화율 (Δx=0.5)
4.5000
근사 오차 |평균 - 순간|
0.5000

先修概念路径 (Prerequisite Path) (7 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A02乘法公式与因式分解恒等式
STEP 2#A03指数法则与根式运算
STEP 3#A01等式性质与一元一次方程
STEP 4#A06对数运算法则与换底公式
STEP 5#A08二项式定理与帕斯卡三角形
STEP 6#C01极限的定义与自然常数 e 的诞生
STEP 7#C02导数定义与瞬时变化率 (切线斜率)

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (5)

#C03乘积法则与复合函数链式法则 (Chain Rule)#C04微积分基本定理与定积分 (牛顿-莱布尼茨公式)#C06泰勒级数与麦克劳林多项式展开#C08偏导数与梯度向量 (∇f 多元微积分)#C10常微分方程与阻尼谐振子 (物理引擎·扩散模型)

几何与直观原理解析

곡선 위의 두 점을 잇는 직선(할선)에서 두 점을 한없이 가깝게 모으면, 곡선에 스치듯 닿는 단 하나의 접선이 되며 그 기울기가 바로 도함수 f'(x)입니다.

分步公式推导过程

  1. Step 1.1단계: f(x) = x^n 일 때 이항정리에 의해 f(x+h) = x^n + n·x^(n-1)h + O(h²) 입니다.
  2. Step 2.2단계: 차분몫 (f(x+h) - f(x)) / h = n·x^(n-1) + O(h) 를 구합니다.
  3. Step 3.3단계: h → 0 극한을 취하면 고차항 O(h)가 사라져 (x^n)' = n·x^(n-1) 이 증명됩니다.

AI与编程实战应用

游戏物理引擎速度/加速度数值微分与深度学习损失函数切线斜率计算

#Numerical Differentiation#Physics Velocity#Optimization Extremum
const diff = (f: (x:number)=>number, x: number, h = 1e-5) => (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);

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