#L05 · 线性代数 (Linear Algebra) · Lv.3在3D思维导图中查看

行列式(Determinant)与逆矩阵公式

Seki Kowa, Leibniz & Cauchy · 1683년

\det(A) = ad - bc,\quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

AA^{-1} = I,\quad \det(AB) = \det(A)\det(B)

行列式det(A)度量线性变换对空间面积/体积的缩放倍率，当det(A)≠0时可通过逆矩阵A⁻¹将变换完全复原。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

元素 a

元素 b

元素 c

元素 d

\det(A) = (3)(4) - (1)(2) = 10.00

행렬식 det(A) = ad-bc

10.0000

역행렬 존재 여부

가역 (Invertible)

A⁻¹의 (1,1) 성분 d/det

0.400

先修概念路径 (Prerequisite Path) (13 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#L01向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G02二维与三维空间欧几里得距离公式

d(P

STEP 8#G05正弦定理与余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04单位圆三角函数与基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02向量点积(内积)与余弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L03三维向量叉积(外积)与表面法向量

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#L04矩阵乘法与线性变换复合 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 13#L05行列式(Determinant)与逆矩阵公式

\det(A) = ad - bc

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (3)

#L06高斯消元法与线性方程组求解 (Ax = b)#L072D·3D旋转矩阵与正交矩阵群 SO(3)#L08特征值(Eigenvalue)与特征向量方程

几何与直观原理解析

가로·세로가 1인 단위 정사각형에 행렬 A를 곱하면 두 열벡터 (a, c)와 (b, d)가 만드는 평행사변형으로 변형되는데, 그 넓이가 정확히 ad - bc 입니다! 넓이가 0이 되어 선분으로 찌그러지면 다시 정사각형으로 복구(역행렬)할 수 없습니다.

分步公式推导过程

Step 1.1단계: 2×2 행렬 A의 두 열벡터 (a, c, 0)과 (b, d, 0)의 외적 z성분(평행사변형 부호 넓이)은 ad - bc 입니다.
Step 2.2단계: A · [[d, -b], [-c, a]] 를 행렬 곱셈하면 대각선은 ad - bc, 비대각선은 0이 됩니다.
Step 3.3단계: 따라서 ad - bc ≠ 0 일 때 양변을 (ad - bc)로 나누면 AA⁻¹ = I 를 만족하는 역행렬이 유도됩니다.

AI与编程实战应用

3D游戏鼠标点击射线拾取逆投影(MVP⁻¹)与生成式AI流模型(Normalizing Flows)雅可比行列式

#3D Mouse Raycasting#Jacobian Determinant#Normalizing Flows

const det2 = (a:number, b:number, c:number, d:number) => a * d - b * c;

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