#A10 · 代数学与数论 (Algebra) · Lv.3在3D思维导图中查看

模同余运算与费马小定理

Pierre de Fermat, Euler & Gauss · 1640년

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \quad (\gcd(a, p) = 1)

a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b)

在模素数p的同余算术中，互质整数a的(p-1)次方必同余于1，是现代HTTPS通信、RSA公钥密码学与区块链椭圆曲线加密的数学心脏。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

底数 a

指数 e

模数 p

3^{6} \equiv 1 \pmod{7}, \quad 3^{6} \equiv 1 \pmod{7}

3^6 mod 7

1

페르마 a^(p-1) mod p

1

모듈러 역원 a^(p-2)

5

先修概念路径 (Prerequisite Path) (5 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#A08二项式定理与帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 5#A10模同余运算与费马小定理

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \quad (\gcd(a

几何与直观原理解析

12시간제 시계에서 15시는 3시와 합동(15 ≡ 3 mod 12)입니다. 소수 p로 나눈 나머지 세계에서는 {1, 2, …, p-1} 전체에 a를 곱해도 순서만 뒤섞일 뿐 집합 전체의 곱이 보존되어 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)가 성립합니다.

分步公式推导过程

Step 1.1단계: 소수 p와 서로소인 a에 대해 {a, 2a, 3a, …, (p-1)a} 를 p로 나눈 나머지는 모두 다릅니다.
Step 2.2단계: 따라서 이 나머지들의 집합은 {1, 2, 3, …, p-1} 과 순서만 다른 동일한 집합입니다.
Step 3.3단계: 모든 원소를 곱하면 a^(p-1) · (p-1)! ≡ (p-1)! (mod p) 이고, (p-1)! 을 약분하면 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

AI与编程实战应用

HTTPS/金融安全RSA公钥加密算法、区块链数字签名与哈希表(Hash Table)寻址

#RSA Cryptography#Blockchain Security#Hash Table Modulo

const modPow = (a: bigint, e: bigint, m: bigint): bigint => /* binary exp */

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