#L06 · 线性代数 (Linear Algebra) · Lv.2在3D思维导图中查看
高斯消元法与线性方程组求解 (Ax = b)
Nine Chapters, Gauss & Gabriel Cramer · 1750년
通过初等行变换(高斯消元法)与克莱姆法则系统求解大型线性方程组 Ax = b，是工程仿真与科学计算的基础算法。
🧮 即时公式计算器与图形绘制器
系数 a₁
常数 c₁
系数 a₂
常数 c₂
연립방정식 교점 해 (x, y)
(2.00, 1.00)
계수 행렬식 det(A)
-3.00
행렬 랭크 rank(A)
2 (유일해)
先修概念路径 (Prerequisite Path) (14 STEP)
完整路径分析按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。
STEP 1#A02乘法公式与因式分解恒等式
STEP 2#A03指数法则与根式运算
STEP 3#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)
STEP 4#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式
STEP 5#L01向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化
STEP 6#A01等式性质与一元一次方程
STEP 7#G02二维与三维空间欧几里得距离公式
STEP 8#G05正弦定理与余弦定理
STEP 9#G04单位圆三角函数与基本恒等式
STEP 10#L02向量点积(内积)与余弦相似度
STEP 11#L03三维向量叉积(外积)与表面法向量
STEP 12#L04矩阵乘法与线性变换复合 (GEMM)
STEP 13#L05行列式(Determinant)与逆矩阵公式
STEP 14#L06高斯消元法与线性方程组求解 (Ax = b)
几何与直观原理解析
2차원 평면에서 두 일차방정식은 두 개의 직선이며, 연립방정식의 해 (x, y)는 두 직선이 교차하는 단 하나의 교점입니다. 두 직선이 평행하면(det(A)=0) 교점이 없거나 무수히 많습니다.
分步公式推导过程
- Step 1.1단계: 연립방정식 a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ 를 행렬 형태 Ax = b 로 표기합니다.
- Step 2.2단계: 첫째 식에 b₂를 곱하고 둘째 식에 b₁을 곱해 빼면 y가 소거되어 (a₁b₂ - b₁a₂)x = c₁b₂ - b₁c₂
- Step 3.3단계: det(A) = a₁b₂ - b₁a₂ ≠ 0 일 때 x = det(A_x)/det(A), y = det(A_y)/det(A) 로 해가 구해집니다.
AI与编程实战应用
SPICE电路仿真器、结构力学有限元求解器与最小二乘正规方程(A^T A x = A^T b)求解
#Linear Solver Ax=b#SPICE Circuit Sim#Normal Equations
const det = a1*b2 - b1*a2; const x = (c1*b2 - b1*c2)/det; const y = (a1*c2 - c1*a2)/det;