#C03 · 微积分与分析学 (Calculus) · Lv.3在3D思维导图中查看

乘积法则与复合函数链式法则 (Chain Rule)

Gottfried Wilhelm Leibniz · 1676년

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx},\quad (uv)' = u'v + uv'

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

将多层复合函数的导数分解为各级局部导数的连乘积，正是现代AI深度学习神经网络反向传播算法(Backpropagation)的核心引擎！

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

内层系数 a

外层幂次 n

输入 x

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = 3(3.0)^{2} \cdot (2) = 54.00

합성미분 dy/dx (역전파)

54.000

외부 미분 dy/du = 3u^2

27.000

내부 미분 du/dx = a

2.000

先修概念路径 (Prerequisite Path) (8 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#A06对数运算法则与换底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08二项式定理与帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01极限的定义与自然常数 e 的诞生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#C02导数定义与瞬时变化率 (切线斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 8#C03乘积法则与复合函数链式法则 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (3)

#C05换元积分法与分部积分法 #C08偏导数与梯度向量 (∇f 多元微积分)#P10Softmax函数与随机梯度下降 (SGD)

几何与直观原理解析

톱니바퀴 A가 1바퀴 돌 때 B가 3바퀴 돌고(du/dx=3), B가 1바퀴 돌 때 C가 2바퀴 돈다면(dy/du=2), A가 1바퀴 돌 때 C는 2 × 3 = 6바퀴 돕니다(dy/dx = dy/du · du/dx).

分步公式推导过程

Step 1.1단계: u = g(x), y = f(u) 일 때 증분 비율은 Δy/Δx = (Δy/Δu) · (Δu/Δx) 로 분리됩니다.
Step 2.2단계: Δx → 0 일 때 연속성에 의해 Δu → 0 이므로 각각의 극한이 도함수 f'(u) 와 g'(x) 로 수렴합니다.
Step 3.3단계: 다층 신경망 y = f_L(...f_2(f_1(x))) 에서도 출력 오차부터 입력층까지 국소 미분을 곱해 역전파합니다.

AI与编程实战应用

深度学习神经网络误差反向传播(Backpropagation)与PyTorch自动微分(Autograd)计算图核心

#Deep Learning Backprop#PyTorch Autograd#Neural Net Training

const dL_dw = dL_dy * dy_du * du_dw; // Backpropagation Chain Rule

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