#P06 · 概率统计与AI优化 (Probability & AI) · Lv.3在3D思维导图中查看

正态分布 (高斯分布) 与标准分数 Z

Carl Friedrich Gauss & Abraham de Moivre · 1809년

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma}

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, \quad P(|Z|\le 1.96) \approx 0.95

支配自然界测量误差与统计数据的钟形连续概率分布，仅由均值 μ 和标准差 σ 完全决定。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

观测值 x

均值 μ

标准差 σ

Z = \frac{115 - 100}{15} = 1.000, \quad P(X \le 115) = 84.13\%

표준화 점수 Z-Score

+1.000σ

누적확률 P(X ≤ x)

84.13%

상위 백분위 Top %

15.87%

先修概念路径 (Prerequisite Path) (14 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#P01排列与组合 (计数原理)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 5#A06对数运算法则与换底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 6#A08二项式定理与帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#A07等差·等比数列求和与无穷等比级数

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#C02导数定义与瞬时变化率 (切线斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 9#P02条件概率与乘法定理

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 10#C01极限的定义与自然常数 e 的诞生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 11#P04数学期望与方差 (随机变量矩)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 12#P05二项分布与伯努利试验

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

STEP 13#C04微积分基本定理与定积分 (牛顿-莱布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 14#P06正态分布 (高斯分布) 与标准分数 Z

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (1)

#P07中心极限定理 (CLT) 与置信区间

几何与直观原理解析

평균에서 멀어질수록 확률밀도가 e^(-z²/2)의 속도로 급격히 감소하며, ±1σ 안에 약 68.3%, ±2σ 안에 약 95.4%의 데이터가 들어옵니다.

分步公式推导过程

Step 1.가우스 적분 ∫_{-∞}^{∞} e^(-t²/2) dt = √(2π)를 정규화 상수로 사용해 전체 면적을 1로 맞춥니다.
Step 2.표준화 변수 Z = (X - μ)/σ로 치환하면 어떤 정규분포든 평균 0, 분산 1인 표준정규분포 N(0,1)로 변환됩니다.

AI与编程实战应用

图像生成扩散模型(Diffusion)高斯噪声调度、变分自编码器(VAE)潜空间以及3D高斯泼溅(3DGS)的核心公式。

#Diffusion Models#3D Gaussian Splatting#VAE Latent Space#Anomaly Detection

const normalPDF = (x, mu, sig) => Math.exp(-0.5 * ((x - mu) / sig) ** 2) / (sig * Math.sqrt(2 * Math.PI));

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#P07