#C08 · 微积分与分析学 (Calculus) · Lv.3在3D思维导图中查看

偏导数与梯度向量 (∇f 多元微积分)

Euler, Hamilton & Lagrange · 1846년

∇f=(∂f∂x1,∂f∂x2,…,∂f∂xn)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)
Duf=∇f⋅u,Δf=∇2fD_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u},\quad \Delta f = \nabla^2 f

将多元函数对各个变量的偏导数合成为梯度向量∇f，永远指向高维曲面上函数值增长最陡峭的方向。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器
坐标 x
坐标 y
f(x,y)=x2+2y2  ⟹  ∇f(2,1.5)=(4.0,  6.0)f(x,y)=x^2+2y^2 \implies \nabla f(2,1.5) = (4.0,\; 6.0)
그래디언트 ∇f = (2x, 4y)
(4.0, 6.0)
최대 경사 크기 ||∇f||
7.211
경사하강 방향 -∇f
(-4.0, -6.0)
P(2,1.5)∇f

先修概念路径 (Prerequisite Path) (12 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A02乘法公式与因式分解恒等式
STEP 2#A03指数法则与根式运算
STEP 3#A01等式性质与一元一次方程
STEP 4#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)
STEP 5#L01向量运算与 L1·L2 范数及单位向量归一化
STEP 6#A06对数运算法则与换底公式
STEP 7#A08二项式定理与帕斯卡三角形
STEP 8#C01极限的定义与自然常数 e 的诞生
STEP 9#G02二维与三维空间欧几里得距离公式
STEP 10#C02导数定义与瞬时变化率 (切线斜率)
STEP 11#C03乘积法则与复合函数链式法则 (Chain Rule)
STEP 12#C08偏导数与梯度向量 (∇f 多元微积分)

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (2)

#P08皮尔逊相关系数与最小二乘线性回归 (OLS)#P10Softmax函数与随机梯度下降 (SGD)

几何与直观原理解析

안개 낀 산에서 가장 빨리 정상으로 올라가려면 발밑의 x축 경사(∂f/∂x)와 y축 경사(∂f/∂y)를 합친 벡터 ∇f 방향으로 걸으면 되고, 가장 빨리 골짜기(오차 최소점)로 내려가려면 반대 방향 -∇f 로 걸으면 됩니다!

分步公式推导过程

  1. Step 1.1단계: 다변수 함수 f(x, y)에서 y를 상수로 고정하고 x에 대해서만 미분한 값을 편미분 ∂f/∂x 라 합니다.
  2. Step 2.2단계: 단위벡터 u 방향으로의 방향도함수는 연쇄법칙에 의해 D_u f = (∂f/∂x)u_x + (∂f/∂y)u_y = ∇f · u 입니다.
  3. Step 3.3단계: 내적 공식 ∇f · u = ‖∇f‖ cos θ 에 의해 θ = 0° (즉 u가 ∇f와 같은 방향)일 때 변화율이 최대가 됩니다.

AI与编程实战应用

百亿参数大模型梯度下降(-∇L)训练与计算机视觉图像边缘检测(Sobel算子)

#Gradient Descent -∇L#Computer Vision Sobel#Physics Field ∇
const grad2D = (a:number, b:number, x:number, y:number) => ({ gx: 2*a*x, gy: 2*b*y });

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