#C10 · 微积分与分析学 (Calculus) · Lv.4在3D思维导图中查看

常微分方程与阻尼谐振子 (物理引擎·扩散模型)

Newton, Euler & d'Alembert · 1743년

m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0,\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

x(t) = A e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \phi),\quad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}

联立位置、速度与加速度求解系统演化轨迹，广泛驱动着游戏物理弹簧阻尼、UI弹性动画与最新AI图像生成扩散模型(Diffusion ODE)。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

质量 m

阻尼系数 c

刚度系数 k

\omega_0 = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2.00, \; \zeta = 0.15 \implies x(t) = e^{-0.30t}\cos(1.98t)

고유 각진동수 ω₀ = √(k/m)

2.000 rad/s

감쇠비 ζ = c / (2√mk)

0.150 (부족감쇠 진동)

진동 주기 T = 2π/ω_d

3.18 s

先修概念路径 (Prerequisite Path) (17 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 2#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 3#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 5#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 6#A06对数运算法则与换底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 7#A07等差·等比数列求和与无穷等比级数

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#A08二项式定理与帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 9#C01极限的定义与自然常数 e 的诞生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 10#G04单位圆三角函数与基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 11#A04一元二次方程求根公式与判别式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 12#C02导数定义与瞬时变化率 (切线斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 13#C04微积分基本定理与定积分 (牛顿-莱布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 14#A09虚数单位 i 与复平面极坐标形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 15#C06泰勒级数与麦克劳林多项式展开

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 16#C07欧拉公式与欧拉恒等式 (上帝公式)

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 17#C10常微分方程与阻尼谐振子 (物理引擎·扩散模型)

m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0

几何与直观原理解析

해 x(t) = e^(λt) 를 대입하면 미분방정식이 이차방정식 mλ² + cλ + k = 0 (특성방정식)으로 바뀝니다! 판별식 D < 0 이면 복소수 근이 나와 오일러 공식에 의해 진동하면서 서서히 멈추는 파동이 됩니다.

分步公式推导过程

Step 1.1단계: 뉴턴 제2법칙 F = ma 에 복원력 -kx 와 마찰 감쇠력 -c(dx/dt) 를 대입합니다.
Step 2.2단계: x(t) = e^(λt) 를 대입하면 특성방정식 mλ² + cλ + k = 0 을 얻습니다.
Step 3.3단계: 근의 공식과 오일러 공식을 적용하면 감쇠비 ζ에 따라 부족감쇠(진동)·임계감쇠·과감쇠 해가 도출됩니다.

AI与编程实战应用

生成式AI扩散模型(Diffusion ODE求解器)、React-Spring弹簧UI动画与机器人阻抗控制

#Diffusion AI ODE#Spring Physics UI#Control Engineering

const zeta = c / (2 * Math.sqrt(m * k)); const w0 = Math.sqrt(k / m);

微积分与分析学 (Calculus) — 同领域相关公式

极限的定义与自然常数 e 的诞生

Lv.2 · Sigmoid & Softmax

#C01

导数定义与瞬时变化率 (切线斜率)

Lv.2 · Numerical Differentiation

#C02

乘积法则与复合函数链式法则 (Chain Rule)

Lv.3 · Deep Learning Backprop

#C03

微积分基本定理与定积分 (牛顿-莱布尼茨公式)

Lv.3 · Physics RK4 Integrator

#C04

换元积分法与分部积分法

Lv.3 · FEM Physics Sim

#C05

泰勒级数与麦克劳林多项式展开

Lv.4 · XGBoost 2nd-Order Loss

#C06