#A09 · 代数学与数论 (Algebra) · Lv.3在3D思维导图中查看

虚数单位 i 与复平面极坐标形式

Bombelli, Euler & Gauss · 1799년

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta),\quad i^2 = -1

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b, a)

引入满足i²=-1的虚数单位将数系扩展至二维复平面，完成了代数基本定理并将复数乘法转化为平面旋转。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器

实部 a

虚部 b

z = 3 + (4)i \implies |z| = 5.00, \; \theta = 53.1^\circ

절댓값 r = |z|

5.000

편각 θ (deg)

53.1°

제곱 회전 z²

-7.0 + (24.0)i

先修概念路径 (Prerequisite Path) (8 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A01等式性质与一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式与因式分解恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法则与根式运算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#A04一元二次方程求根公式与判别式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 7#G04单位圆三角函数与基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#A09虚数单位 i 与复平面极坐标形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (2)

#C07欧拉公式与欧拉恒等式 (上帝公式)#L10四元数(Quaternion)与3D球面线性插值(SLERP)

几何与直观原理解析

실수선에서 -1을 곱하는 것이 180° 반전이라면, i를 곱하는 것은 정확히 90° 반시계 방향 회전입니다! 두 번 90° 회전하면 180° 반전이 되므로 i × i = -1 이 기하학적으로 당연해집니다.

分步公式推导过程

Step 1.1단계: 판별식 D < 0 인 이차방정식 x² + 1 = 0 의 해를 i = √(-1) 로 정의합니다.
Step 2.2단계: 복소수 z = a + bi 를 좌표평면의 점 (a, b) 로 대응시키면 원점 거리는 피타고라스 정리에 의해 r = √(a² + b²)
Step 3.3단계: 삼각함수로 치환하면 a = r cos θ, b = r sin θ 이므로 z = r(cos θ + i sin θ) 극형식이 얻어집니다.

AI与编程实战应用

音频与无线通信FFT复数频谱分析、量子计算量子比特振幅与分形图形渲染

#Quantum Computing#RF Signal DSP#2D Rotation

const mag = Math.hypot(re, im); const phase = Math.atan2(im, re);

代数学与数论 (Algebra) — 同领域相关公式

等式性质与一元一次方程

Lv.1 · Linear Layer y=wx+b

乘法公式与因式分解恒等式

Lv.1 · Polynomial Kernel SVM

指数法则与根式运算

Lv.1 · IEEE 754 Float

一元二次方程求根公式与判别式

Lv.2 · 3D Ray Tracing

韦达定理 (根与系数的关系)

Lv.2 · Matrix Trace & Det

对数运算法则与换底公式

Lv.2 · O(log N) Complexity