#G04 · 几何与三角函数 (Geometry & Trig) · Lv.2在3D思维导图中查看

单位圆三角函数与基本恒等式

Hipparchus, Aryabhata & Euler · 公元前 140 年

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1,\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),1+tan⁡2θ=sec⁡2θP(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta),\quad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

将余弦与正弦定义为单位圆上的坐标(cos θ, sin θ)，突破直角三角形限制以描述任意角度旋转与周期波动。

🧮 即时公式计算器与图形绘制器
旋转角 θ°
cos⁡(45∘)=0.707,  sin⁡(45∘)=0.707,  cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos(45^\circ) = 0.707, \; \sin(45^\circ) = 0.707, \; \cos^2\theta+\sin^2\theta = 1
cos θ (x좌표)
0.7071
sin θ (y좌표)
0.7071
tan θ (기울기)
1.0000
(0.71, 0.71)

先修概念路径 (Prerequisite Path) (6 STEP)

完整路径分析

按顺序点击即可沿3D霓虹路径从基础直达目标公式。

STEP 1#A01等式性质与一元一次方程
STEP 2#A02乘法公式与因式分解恒等式
STEP 3#A03指数法则与根式运算
STEP 4#G01毕达哥拉斯定理 (勾股定理)
STEP 5#G03圆周率 π 与弧度制·扇形公式
STEP 6#G04单位圆三角函数与基本恒等式

🚀 由此公式衍生的进阶公式 (8)

#A09虚数单位 i 与复平面极坐标形式#G05正弦定理与余弦定理#G06三角函数和差角公式与二倍角公式#G08球坐标系转换与球的体积·表面积#C07欧拉公式与欧拉恒等式 (上帝公式)#C09傅里叶级数与傅里叶变换 (时域↔频域)#L03三维向量叉积(外积)与表面法向量#L072D·3D旋转矩阵与正交矩阵群 SO(3)

几何与直观原理解析

단위원(반지름 1) 위를 도는 점의 그림자를 x축에 비추면 cos θ, y축에 비추면 sin θ가 됩니다. 반지름이 1인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 언제나 cos²θ + sin²θ = 1² = 1 입니다.

分步公式推导过程

  1. Step 1.1단계: 원점 중심, 반지름 1인 단위원 방정식은 x² + y² = 1 입니다.
  2. Step 2.2단계: 각도 θ에 대한 단위원 위의 점 좌표를 x = cos θ, y = sin θ 로 정의합니다.
  3. Step 3.3단계: 이를 원의 방정식에 대입하면 cos²θ + sin²θ = 1 이며, 양변을 cos²θ로 나누면 1 + tan²θ = sec²θ

AI与编程实战应用

大语言模型Transformer旋转位置编码(RoPE)与3D游戏圆周运动/波浪着色器

#LLM RoPE Encoding#Wave Shader#Circular Orbit
const posOnCircle = (r: number, rad: number) => ({ x: r * Math.cos(rad), y: r * Math.sin(rad) });

几何与三角函数 (Geometry & Trig) — 同领域相关公式

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