#A07 · 代数学・数論 (Algebra) · Lv.23Dマインドマップで見る

等差・等比数列の和と無限等比級数

Carl Friedrich Gauss & Archimedes · 1785년

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r},\quad S_\infty = \frac{a}{1 - r} \;(|r|<1)

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

一定の差や比で変化する数列の総和を閉じた式で計算し、|r|<1のとき無限等比級数が a/(1-r) に収束することを示します。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

初項 a

公比 r

項数 n

S_{8} = \frac{10(1 - 0.5^{8})}{1 - 0.5} = 19.922

부분합 S_8

19.9219

Infinite Sum S_∞

20.0000

n번째 항 a_n

0.0781

前提概念ルート (Prerequisite Path) (3 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A07等差・等比数列の和と無限等比級数

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

🚀 この公式から派生する上位公式 (2)

#C04微分積分学の基本定理と定積分 #C06テイラー級数とマクローリン展開

幾何学的・直観的解説

S_n 에 공비 r을 곱한 r·S_n 을 원래 S_n 에서 빼면 중간 항들이 도미노처럼 모두 지워지고 첫째항 a와 마지막 항 ar^n 만 남습니다(망원급수 원리).

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: S_n = a + ar + ar² + … + ar^(n-1) 의 양변에 r을 곱합니다 → rS_n = ar + ar² + … + ar^n
Step 2.2단계: 두 식을 빼면 (1 - r)S_n = a - ar^n = a(1 - r^n) 이 됩니다.
Step 3.3단계: r ≠ 1 일 때 S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) 이며, |r| < 1 이고 n → ∞ 이면 r^n → 0 이 되어 S_∞ = a/(1 - r)

AI・プログラミング実戦活用

強化学習(RL)の割引累積報酬(∑ γ^t)の収束計算および金融工学の複利・現在価値算出

#RL Discounted Return#Quant Finance DCF#Algorithm Loop Analysis

const geoSum = (a: number, r: number, n: number) => a * (1 - Math.pow(r, n)) / (1 - r);

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