#C02 · 微分積分・解析学 (Calculus) · Lv.23Dマインドマップで見る

微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)

Isaac Newton & Gottfried Wilhelm Leibniz · 1684년

f′(x)=dfdx=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
ddx(xn)=nxn−1,ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1},\quad \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

区間幅hを0に近づけて平均変化率を瞬間変化率(接線の傾き)へと変換する微分学の核心定義であり、物理の速度・加速度と最適化を解き明かします。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター
接点 x₀
微小幅 h
f(2+0.5)−f(2)0.5=4.500→h→0f′(2)=4.000\frac{f(2+0.5)-f(2)}{0.5} = 4.500 \xrightarrow{h\to 0} f'(2) = 4.000
순간 접선 기울기 f'(2)
4.0000
할선 평균변화율 (Δx=0.5)
4.5000
근사 오차 |평균 - 순간|
0.5000

前提概念ルート (Prerequisite Path) (7 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式
STEP 2#A03指数法則と累乗根
STEP 3#A01等式の性質と一次方程式
STEP 4#A06対数の定義と底の変換公式
STEP 5#A08二項定理とパスカルの三角形
STEP 6#C01極限の定義とネイピア数 e の誕生
STEP 7#C02微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)

🚀 この公式から派生する上位公式 (5)

#C03積の微分法と合成関数の連鎖律 (Chain Rule)#C04微分積分学の基本定理と定積分#C06テイラー級数とマクローリン展開#C08偏微分と勾配ベクトル (∇f 多変数微分)#C10微分方程式と減衰調和振動子 (物理・生成AI)

幾何学的・直観的解説

곡선 위의 두 점을 잇는 직선(할선)에서 두 점을 한없이 가깝게 모으면, 곡선에 스치듯 닿는 단 하나의 접선이 되며 그 기울기가 바로 도함수 f'(x)입니다.

ステップ別 数式導出

  1. Step 1.1단계: f(x) = x^n 일 때 이항정리에 의해 f(x+h) = x^n + n·x^(n-1)h + O(h²) 입니다.
  2. Step 2.2단계: 차분몫 (f(x+h) - f(x)) / h = n·x^(n-1) + O(h) 를 구합니다.
  3. Step 3.3단계: h → 0 극한을 취하면 고차항 O(h)가 사라져 (x^n)' = n·x^(n-1) 이 증명됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

物理エンジンの速度・加速度数値微分およびディープラーニング損失関数の傾き計算

#Numerical Differentiation#Physics Velocity#Optimization Extremum
const diff = (f: (x:number)=>number, x: number, h = 1e-5) => (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);

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