#C09 · 微分積分・解析学 (Calculus) · Lv.53Dマインドマップで見る

フーリエ級数とフーリエ変換 (時間↔周波数)

Joseph Fourier, Cooley & Tukey · 1822년

\hat{f}(\omega) = \int_{-infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt

f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega

どんな複雑な音声・映像・電波信号も単純な正弦波(e^-iωt)の重ね合わせへと分解・復元できるという、現代デジタル文明(Wi-Fi, MP3, JPEG, MRI)の最高峰公式です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

基本周波数 ω₁

高調波 ω₂

高調波振幅 A₂

f(t) = \sin(1t) + 0.4\sin(3t), \quad E = 1^2 + 0.4^2 = 1.16

파르세발 에너지 ∑A_k²

1.1600

기본파 ω₁=1 비중

86.2%

고조파 ω₂=3 진폭

0.40

前提概念ルート (Prerequisite Path) (22 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式

l = r\theta

STEP 6#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#A04二次方程式の解の公式と判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 8#A06対数の定義と底の変換公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 9#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 10#G05正弦定理と余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 11#A07等差・等比数列の和と無限等比級数

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 12#C02微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 13#C01極限の定義とネイピア数 e の誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 14#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 15#C03積の微分法と合成関数の連鎖律 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 16#A09虚数単位 i と複素平面の極形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 17#G06三角関数の加法定理と倍角の公式

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

STEP 18#C04微分積分学の基本定理と定積分

\int_a^b f(x)\

STEP 19#C05置換積分法と部分積分法

\int u\

STEP 20#C06テイラー級数とマクローリン展開

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 21#C07オイラーの公式と世界で最も美しい等式

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 22#C09フーリエ級数とフーリエ変換 (時間↔周波数)

\hat{f}(\omega) = \int_{-infty}^{\infty} f(t)\

幾何学的・直観的解説

과일 스무디(복합 파동 f(t))를 마시고 그 안에 딸기·바나나·망고(주파수 ω 성분)가 각각 몇 그램씩 들어있는지 레시피(스펙트럼 f̂(ω))를 정확히 역추적해 내는 수학적 프리즘입니다!

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 서로 다른 주파수의 삼각함수(또는 복소지수 e^(iωt))는 한 주기 적분 시 내적이 0이 되는 직교성(Orthogonality)을 가집니다.
Step 2.2단계: 신호 f(t)에 e^(-iωt) 를 곱해 전체 시간 구간에서 정적분하면, 주파수 ω와 일치하는 공명 성분만 살아남고 나머지는 상쇄됩니다.
Step 3.3단계: 이로써 시간 영역 신호 f(t)가 주파수 영역 스펙트럼 f̂(ω)로 변환됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

AI音声認識(メルスペクトログラム)、MP3/JPEG圧縮、5G・Wi-Fi通信(OFDM)、医療MRI画像再構成

#Audio AI Spectrogram#5G/Wi-Fi OFDM#JPEG/MP3 Compression

const dftBin = (sig: number[], k: number) => sig.reduce((s, x, n) => s + x * Math.cos(2*Math.PI*k*n/sig.length), 0);

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