#A06 · 代数学・数論 (Algebra) · Lv.23Dマインドマップで見る

対数の定義と底の変換公式

John Napier · 1614년

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,\quad \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}

a^y = x \iff y = \log_a x \quad (a>0, a\neq 1, x>0)

指数の逆演算であり、巨大な数の乗除を加減に変換してアルゴリズム計算量O(log N)やAI情報エントロピーを支えます。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

底 a

真数 x

\log_{2}(64) = \frac{\ln(64)}{\ln(2)} = 6.0000

log_2(x)

6.0000

자연로그 ln(x)

4.1589

상용로그 log₁₀(x)

1.8062

前提概念ルート (Prerequisite Path) (3 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A06対数の定義と底の変換公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

🚀 この公式から派生する上位公式 (2)

#C01極限の定義とネイピア数 e の誕生 #P09情報エントロピーと交差エントロピー (Cross-Entropy)

幾何学的・直観的解説

10을 몇 번 거듭제곱해야 1,000이 될까요? 정답인 3이 바로 log₁₀(1000)입니다. 확률 0.0001 × 0.0001 을 그냥 곱하면 컴퓨터에서 0으로 사라지지만, 로그를 씌우면 -4 + (-4) = -8 로 안전하게 더해집니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: m = log_a(x), n = log_a(y) 라 두면 정의에 의해 x = a^m, y = a^n 입니다.
Step 2.2단계: 두 식을 곱하면 xy = a^m · a^n = a^(m+n) 이 됩니다.
Step 3.3단계: 다시 로그 정의를 적용하면 log_a(xy) = m + n = log_a(x) + log_a(y) 가 증명됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

二分探索アルゴリズム計算量O(log₂ N)およびAI対数尤度(Log-Likelihood)のアンダーフロー防止

#O(log N) Complexity#Log-Likelihood AI#Information Theory

const logBase = (a: number, x: number) => Math.log(x) / Math.log(a);

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