#G10 · 幾何学・三角関数 (Geometry & Trig) · Lv.33Dマインドマップで見る

ベジェ曲線 (Bézier Curve) の媒介変数公式

Pierre Bézier & Paul de Casteljau · 1962년

\mathbf{B}(t) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k \quad (0 \le t \le 1)

\mathbf{B}_2(t) = (1-t)^2\mathbf{P}_0 + 2(1-t)t\mathbf{P}_1 + t^2\mathbf{P}_2

二項定理のバーンスタイン多項式を用いて少数の制御点から滑らかな自由曲線を生成する、SVG・フォント・3Dアニメーションの標準公式です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

媒介変数 t

制御点 P1y

B_2(0.50) = 0.25P_0 + 0.50P_1(8) + 0.25P_2 = 4.500

베지에 곡선 높이 B_y(0.5)

4.500

번스타인 가중치 합 ∑B_k

1.000

제어점 P₁ 가중치 2(1-t)t

50.0%

前提概念ルート (Prerequisite Path) (9 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 5#A04二次方程式の解の公式と判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 6#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 8#G07二次曲線 (放物線・楕円・双曲線) の方程式

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

STEP 9#G10ベジェ曲線 (Bézier Curve) の媒介変数公式

\mathbf{B}(t) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k \quad (0 \le t \le 1)

幾何学的・直観的解説

선분 P₀P₁ 위의 내분점과 선분 P₁P₂ 위의 내분점을 구한 뒤, 그 두 점을 다시 비율 t:(1-t)로 선형보간(Lerp)하여 이으면 마법처럼 부드러운 포물선 곡선이 그려집니다(드 카스텔조 알고리즘).

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 1차 선형보간 L₀(t) = (1-t)P₀ + tP₁ 과 L₁(t) = (1-t)P₁ + tP₂ 를 구합니다.
Step 2.2단계: 두 점을 다시 보간하면 B₂(t) = (1-t)L₀(t) + tL₁(t) = (1-t)²P₀ + 2(1-t)tP₁ + t²P₂
Step 3.3단계: 이를 n차로 반복하면 이항정리 계수 nCk (1-t)^(n-k) t^k 가 가중치로 나타납니다.

AI・プログラミング実戦活用

SVG描画・CSS cubic-bezierイージング・フォント描画・自動運転および3Dカメラ軌道生成

#SVG & Font Rendering#CSS cubic-bezier#3D Camera Splines

const quadBezier = (p0:number, p1:number, p2:number, t:number) => (1-t)*(1-t)*p0 + 2*(1-t)*t*p1 + t*t*p2;

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