#L10 · 線形代数学 (Linear Algebra) · Lv.53Dマインドマップで見る

四元数(クォータニオン)と3D球面線形補間(SLERP)

William Rowan Hamilton · 1843년

q = \cos\frac{\theta}{2} + (u_x i + u_y j + u_z k)\sin\frac{\theta}{2},\quad i^2=j^2=k^2=ijk=-1

\mathbf{p}' = q\,\mathbf{p}\,q^{-1},\quad \operatorname{Slerp}(q_1, q_2, t) = \frac{\sin((1-t)\Omega)}{\sin\Omega}q_1 + \frac{\sin(t\Omega)}{\sin\Omega}q_2

複素数を4次元へと拡張し、オイラー角の致命的欠陥であるジンバルロック(Gimbal Lock)を完全に防いで滑らかな3D回転補間(SLERP)を実現するゲーム・航空宇宙の必須公式です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

3D回転角 θ°

回転軸 uz

\mathbf{q} = 0.707 + 0.000\mathbf{i} + 0.707\mathbf{k} \quad (\|\mathbf{q}\|=1)

스칼라부 w = cos(θ/2)

0.7071

벡터부 (qx, qz)

(0.000, 0.707)

단위 노름 ||q||

1.0000

前提概念ルート (Prerequisite Path) (26 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式

l = r\theta

STEP 5#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#L01ベクトルの演算と L1・L2 ノルム・正規化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#A06対数の定義と底の変換公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 8#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 9#A07等差・等比数列の和と無限等比級数

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 10#C02微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 11#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 12#A04二次方程式の解の公式と判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 13#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 14#C01極限の定義とネイピア数 e の誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 15#G05正弦定理と余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 16#L04行列の積と線形変換の合成 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 17#L02ベクトルの内積(ドット積)とコサイン類似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 18#L033次元ベクトルの外積(クロス積)と法線ベクトル

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 19#C04微分積分学の基本定理と定積分

\int_a^b f(x)\

STEP 20#G06三角関数の加法定理と倍角の公式

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

STEP 21#L05行列式(Determinant)と逆行列の公式

\det(A) = ad - bc

STEP 22#A09虚数単位 i と複素平面の極形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 23#L072D・3D回転行列と直交行列 (SO(3))

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

STEP 24#C06テイラー級数とマクローリン展開

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 25#C07オイラーの公式と世界で最も美しい等式

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 26#L10四元数(クォータニオン)と3D球面線形補間(SLERP)

q = \cos\frac{\theta}{2} + (u_x i + u_y j + u_z k)\sin\frac{\theta}{2}

幾何学的・直観的解説

2D 평면 회전을 복소수 e^(iθ) = cos θ + i sin θ 로 표현했듯, 3D 공간에서 단위 회전축 u = (u_x, u_y, u_z) 둘레로 θ만큼 회전하는 것은 q · p · q⁻¹ 양쪽 곱셈 때문에 반각(θ/2)을 쓰는 4차원 단위 사원수가 됩니다!

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 해밀턴이 더블린 브로엄 다리에 새긴 기본 관계식 i² = j² = k² = ijk = -1 로부터 ij = k, ji = -k (외적 성질)가 도출됩니다.
Step 2.2단계: 회전축 단위벡터 u 에 대해 단위 사원수 q = cos(θ/2) + u sin(θ/2) 를 구성합니다.
Step 3.3단계: 3D 점 p를 순허수 사원수로 보고 q p q⁻¹ 을 계산하면, 축 u 에 수직인 성분이 정확히 θ/2 + θ/2 = θ 만큼 회전합니다.

AI・プログラミング実戦活用

Three.js・Unity・Unrealの骨格アニメーション補間(SLERP)およびドローン・宇宙船の姿勢制御

#Three.js Quaternion#Gimbal Lock Free#Aerospace Attitude

const quatFromAxisZ = (rad: number) => ({ w: Math.cos(rad/2), x: 0, y: 0, z: Math.sin(rad/2) });

線形代数学 (Linear Algebra) — 同分野の関連公式

ベクトルの演算と L1・L2 ノルム・正規化

Lv.1 · L1/L2 Regularization

ベクトルの内積(ドット積)とコサイン類似度

Lv.2 · LLM Self-Attention Q·K

3次元ベクトルの外積(クロス積)と法線ベクトル

Lv.2 · 3D Surface Normal

行列の積と線形変換の合成 (GEMM)

Lv.2 · GPU Tensor Cores GEMM

行列式(Determinant)と逆行列の公式

Lv.3 · 3D Mouse Raycasting

ガウスの消去法と連立一次方程式 (Ax = b)

Lv.2 · Linear Solver Ax=b