#L04 · 線形代数学 (Linear Algebra) · Lv.23Dマインドマップで見る

行列の積と線形変換の合成 (GEMM)

Arthur Cayley · 1858년

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

AB \neq BA \quad (\text{Non-commutative})

行列Aの第i行と行列Bの第j列の内積をとる演算であり、幾何学的には2つの線形変換(回転・拡大・せん断)の連続適用を意味します。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

A₁₁

A₁₂

B₁₁

B₂₁

\begin{bmatrix}2 & 1\\ -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5.0\\5.0\end{bmatrix}

합성 성분 (AB)₁₁ = 1행·1열

5.000

합성 성분 (AB)₂₁ = 2행·1열

5.000

변환 스케일 배율

2.236

前提概念ルート (Prerequisite Path) (11 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式

l = r\theta

STEP 4#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#L01ベクトルの演算と L1・L2 ノルム・正規化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 9#G05正弦定理と余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 10#L02ベクトルの内積(ドット積)とコサイン類似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L04行列の積と線形変換の合成 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

🚀 この公式から派生する上位公式 (6)

#L05行列式(Determinant)と逆行列の公式 #L06ガウスの消去法と連立一次方程式 (Ax = b)#L072D・3D回転行列と直交行列 (SO(3))#L08固有値(Eigenvalue)と固有ベクトル方程式 #L09特異値分解(SVD)と主成分分析(PCA)#P10ソフトマックス関数 (Softmax) と確率的勾配降下法 (SGD)

幾何学的・直観的解説

왜 행렬 곱셈은 같은 자리끼리 곱하지 않고 '행 × 열'로 복잡하게 곱할까요? 벡터 x에 변환 B를 먼저 가하고(Bx) 이어서 변환 A를 가한 A(Bx) 의 최종 결과 식을 정리해보면 정확히 (AB)x 의 행×열 내적 규칙이 나오기 때문입니다!

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 벡터 x를 y = Bx 로 변환하면 y_k = ∑_j B_{kj} x_j 입니다.
Step 2.2단계: 다시 y를 z = Ay 로 변환하면 z_i = ∑_k A_{ik} y_k = ∑_j (∑_k A_{ik} B_{kj}) x_j 가 됩니다.
Step 3.3단계: 따라서 합성 변환 행렬 C = AB 의 (i, j) 성분은 C_{ij} = ∑_k A_{ik} B_{kj} 로 유일하게 결정됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

NVIDIA GPU演算の90%を占めるAIディープラーニング全結合/Attention層および3D CGのMVP変換パイプライン

#GPU Tensor Cores GEMM#Deep Learning Y=XW#3D MVP Pipeline

const matMul2 = (A:number[][], B:number[][]) => [[A[0][0]*B[0][0]+A[0][1]*B[1][0], A[0][0]*B[0][1]+A[0][1]*B[1][1]]];

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