#A05 · 代数学・数論 (Algebra) · Lv.23Dマインドマップで見る

解と係数の関係 (ヴィエトの 공식)

François Viète · 1615년

\alpha + \beta = -\frac{b}{a},\quad \alpha\beta = \frac{c}{a}

a(x - \alpha)(x - \beta) = ax^2 + bx + c

方程式の解を直接求めずに係数だけで解の和と積を知る定理であり、行列のトレース(固有値の和)と行列式(固有値の積)に直結します。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

解 α

解 β

x^2 - (2.0)x + (-8.0) = 0 \iff \alpha+\beta=2.0,\; \alpha\beta=-8.0

두 근의 합 α+β = -b/a

2.000

두 근의 곱 αβ = c/a

-8.000

대칭식 α²+β²

20.000

前提概念ルート (Prerequisite Path) (5 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 4#A04二次方程式の解の公式と判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 5#A05解と係数の関係 (ヴィエトの 공식)

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}

🚀 この公式から派生する上位公式 (1)

#L08固有値(Eigenvalue)と固有ベクトル方程式

幾何学的・直観的解説

a(x - α)(x - β) 를 전개하면 ax² - a(α+β)x + aαβ 가 되므로, 원래 식 ax² + bx + c 와 계수를 비교하면 b = -a(α+β), c = aαβ 가 자명하게 성립합니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 두 근을 α, β라 하면 이차방정식은 a(x - α)(x - β) = 0 으로 인수분해됩니다.
Step 2.2단계: 좌변을 전개하면 ax² - a(α + β)x + aαβ = 0 이 됩니다.
Step 3.3단계: ax² + bx + c = 0 과 계수를 비교하면 α + β = -b/a, αβ = c/a 를 얻습니다.

AI・プログラミング実戦活用

制御工学のシステム安定性判別および線形代数の固有値トレース・行列式検証

#Matrix Trace & Det#Control Theory Poles#Symmetric Polynomials

const sumRoots = -b / a; const prodRoots = c / a;

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