#L05 · 線形代数学 (Linear Algebra) · Lv.33Dマインドマップで見る

行列式(Determinant)と逆行列の公式

Seki Kowa, Leibniz & Cauchy · 1683년

\det(A) = ad - bc,\quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

AA^{-1} = I,\quad \det(AB) = \det(A)\det(B)

線形変換による面積・体積の拡大率を表す行列式det(A)と、変換を元に戻す逆行列A⁻¹の公式です。det(A)=0のとき空間が潰れ逆行列は存在しません。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

成分 a

成分 b

成分 c

成分 d

\det(A) = (3)(4) - (1)(2) = 10.00

행렬식 det(A) = ad-bc

10.0000

역행렬 존재 여부

가역 (Invertible)

A⁻¹의 (1,1) 성분 d/det

0.400

前提概念ルート (Prerequisite Path) (13 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式

l = r\theta

STEP 5#L01ベクトルの演算と L1・L2 ノルム・正規化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 8#G05正弦定理と余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02ベクトルの内積(ドット積)とコサイン類似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L033次元ベクトルの外積(クロス積)と法線ベクトル

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#L04行列の積と線形変換の合成 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 13#L05行列式(Determinant)と逆行列の公式

\det(A) = ad - bc

🚀 この公式から派生する上位公式 (3)

#L06ガウスの消去法と連立一次方程式 (Ax = b)#L072D・3D回転行列と直交行列 (SO(3))#L08固有値(Eigenvalue)と固有ベクトル方程式

幾何学的・直観的解説

가로·세로가 1인 단위 정사각형에 행렬 A를 곱하면 두 열벡터 (a, c)와 (b, d)가 만드는 평행사변형으로 변형되는데, 그 넓이가 정확히 ad - bc 입니다! 넓이가 0이 되어 선분으로 찌그러지면 다시 정사각형으로 복구(역행렬)할 수 없습니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 2×2 행렬 A의 두 열벡터 (a, c, 0)과 (b, d, 0)의 외적 z성분(평행사변형 부호 넓이)은 ad - bc 입니다.
Step 2.2단계: A · [[d, -b], [-c, a]] 를 행렬 곱셈하면 대각선은 ad - bc, 비대각선은 0이 됩니다.
Step 3.3단계: 따라서 ad - bc ≠ 0 일 때 양변을 (ad - bc)로 나누면 AA⁻¹ = I 를 만족하는 역행렬이 유도됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

3Dゲームのマウスクリック逆投影(Raycasting: MVP⁻¹)および生成AIのヤコビアン行列式計算

#3D Mouse Raycasting#Jacobian Determinant#Normalizing Flows

const det2 = (a:number, b:number, c:number, d:number) => a * d - b * c;

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