#A09 · 代数学・数論 (Algebra) · Lv.33Dマインドマップで見る

虚数単位 i と複素平面の極形式

Bombelli, Euler & Gauss · 1799년

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta),\quad i^2 = -1

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b, a)

2乗して-1になる虚数単位iにより数の体系を2次元複素平面へ拡張し、代数学の基本定理と回転演算を完成させます。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

実部 a

虚部 b

z = 3 + (4)i \implies |z| = 5.00, \; \theta = 53.1^\circ

절댓값 r = |z|

5.000

편각 θ (deg)

53.1°

제곱 회전 z²

-7.0 + (24.0)i

前提概念ルート (Prerequisite Path) (8 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式

l = r\theta

STEP 5#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#A04二次方程式の解の公式と判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 7#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#A09虚数単位 i と複素平面の極形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

🚀 この公式から派生する上位公式 (2)

#C07オイラーの公式と世界で最も美しい等式 #L10四元数(クォータニオン)と3D球面線形補間(SLERP)

幾何学的・直観的解説

실수선에서 -1을 곱하는 것이 180° 반전이라면, i를 곱하는 것은 정확히 90° 반시계 방향 회전입니다! 두 번 90° 회전하면 180° 반전이 되므로 i × i = -1 이 기하학적으로 당연해집니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 판별식 D < 0 인 이차방정식 x² + 1 = 0 의 해를 i = √(-1) 로 정의합니다.
Step 2.2단계: 복소수 z = a + bi 를 좌표평면의 점 (a, b) 로 대응시키면 원점 거리는 피타고라스 정리에 의해 r = √(a² + b²)
Step 3.3단계: 삼각함수로 치환하면 a = r cos θ, b = r sin θ 이므로 z = r(cos θ + i sin θ) 극형식이 얻어집니다.

AI・プログラミング実戦活用

音声・通信の高速フーリエ変換(FFT)、量子コンピュータの量子振幅、フラクタル生成

#Quantum Computing#RF Signal DSP#2D Rotation

const mag = Math.hypot(re, im); const phase = Math.atan2(im, re);

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