#L08 · 線形代数学 (Linear Algebra) · Lv.43Dマインドマップで見る

固有値(Eigenvalue)と固有ベクトル方程式

Augustin-Louis Cauchy & David Hilbert · 1829년

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff \det(A - \lambda I) = 0

\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A),\quad \prod \lambda_i = \det(A)

行列Aを掛けても向きが変わらず大きさだけがλ倍になる「変換の不変軸(固有ベクトルv)」と「倍率(固有値λ)」を見つけ出す線形代数の華です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

成分 A₁₁

非対角 b

成分 A₂₂

\lambda^2 - 5.0\lambda + (0.0) = 0 \implies \lambda_1 = 5.00, \; \lambda_2 = 0.00

제1 고윳값 λ₁ (주성분)

5.0000

제2 고윳값 λ₂

0.0000

대각합 tr(A) = λ₁+λ₂

5.00

前提概念ルート (Prerequisite Path) (16 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 2#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式

l = r\theta

STEP 3#L01ベクトルの演算と L1・L2 ノルム・正規化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 4#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 5#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 6#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 7#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 8#G05正弦定理と余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02ベクトルの内積(ドット積)とコサイン類似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L033次元ベクトルの外積(クロス積)と法線ベクトル

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#A04二次方程式の解の公式と判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 13#A05解と係数の関係 (ヴィエトの 공식)

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}

STEP 14#L04行列の積と線形変換の合成 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 15#L05行列式(Determinant)と逆行列の公式

\det(A) = ad - bc

STEP 16#L08固有値(Eigenvalue)と固有ベクトル方程式

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff \det(A - \lambda I) = 0

🚀 この公式から派生する上位公式 (1)

#L09特異値分解(SVD)と主成分分析(PCA)

幾何学的・直観的解説

지구본을 회전시킬 때 북극과 남극을 잇는 자전축 위의 점들은 회전 후에도 방향이 바뀌지 않고 제자리에 머무릅니다. 이처럼 선형변환의 본질적인 '뼈대 축'을 찾아내는 것이 고윳값 분해입니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: Av = λv 를 이항하여 (A - λI)v = 0 으로 정리합니다.
Step 2.2단계: 영벡터가 아닌 해 v ≠ 0 가 존재하려면 행렬 (A - λI)가 역행렬을 갖지 않아야 하므로 특성방정식 det(A - λI) = 0 이 성립해야 합니다.
Step 3.3단계: 2×2 행렬의 경우 λ² - tr(A)λ + det(A) = 0 을 근의 공식으로 풀어 고윳값 λ₁, λ₂ 를 구합니다.

AI・プログラミング実戦活用

Google検索のPageRankアルゴリズム、量子力学ハミルトニアン固有状態(Hψ=Eψ)、建築物の共振周波数解析

#Google PageRank#Quantum Mechanics Hψ=Eψ#Spectral Graph Theory

const tr = a + d; const det = a*d - b*c; const l1 = (tr + Math.sqrt(tr*tr - 4*det))/2;

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