#C04 · 微分積分・解析学 (Calculus) · Lv.33Dマインドマップで見る

微分積分学の基本定理と定積分

Newton, Leibniz & Isaac Barrow · 1669년

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad (F'(x) = f(x))

\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)

「接線の傾き(微分)」と「曲線下の面積(積分)」が互いに逆演算であることを示し、定積分を原始関数の両端の差 F(b)-F(a) で一気に計算します。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

下端 a

上端 b

\int_{0}^{3} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{27.0 - 0.0}{3} = 9.0000

Definite Integral

9.0000

Antiderivative ΔF

9.0000

Mean Value

3.000

前提概念ルート (Prerequisite Path) (9 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 3#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#A06対数の定義と底の変換公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01極限の定義とネイピア数 e の誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#A07等差・等比数列の和と無限等比級数

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#C02微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 9#C04微分積分学の基本定理と定積分

\int_a^b f(x)\

🚀 この公式から派生する上位公式 (4)

#C05置換積分法と部分積分法 #C06テイラー級数とマクローリン展開 #C09フーリエ級数とフーリエ変換 (時間↔周波数)#P06正規分布 (ガウス分布) と標準化 Zスコア

幾何学的・直観的解説

시속 f(t) km로 달린 자동차의 속도 그래프 아래 넓이(이동거리)는, 결국 출발할 때 계기판 누적거리 F(a)와 도착할 때 계기판 누적거리 F(b)의 차이 F(b) - F(a)와 정확히 같습니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 넓이 함수 A(x) = ∫_a^x f(t) dt 에 대해 증분 ΔA = A(x+h) - A(x) ≈ f(x)·h 입니다.
Step 2.2단계: 양변을 h로 나누고 h → 0 극한을 취하면 A'(x) = f(x) 가 되어 넓이 함수의 도함수가 원래 함수 f(x)임이 증명됩니다.
Step 3.3단계: 따라서 임의의 부정적분 F(x)에 대해 ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) 가 성립합니다.

AI・プログラミング実戦活用

物理エンジンの速度→位置積分、3Dレンダリング方程式、確率累積分布関数(CDF)の算出

#Physics RK4 Integrator#3D Rendering Equation#Probability CDF

const simpson = (f:(x:number)=>number, a:number, b:number) => ((b-a)/6)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b));

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