#L07 · 線形代数学 (Linear Algebra) · Lv.33Dマインドマップで見る

2D・3D回転行列と直交行列 (SO(3))

Leonhard Euler & Olinde Rodrigues · 1775년

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},\quad R^{-1} = R^T

\det(R) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

図形の大きさを歪めずに(det R = 1)角度θだけ回転させる直交行列であり、逆行列が転置行列(R⁻¹=Rᵀ)に一致するため3Dゲームやロボット工学で超高速に計算されます。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

元の座標 x

元の座標 y

回転角 θ°

(x', y') = (1.41,\; 4.24), \quad \det R(45^\circ) = 1

회전 후 좌표 (x', y')

(1.414, 4.243)

보존된 벡터 길이 ||v||

4.472

회전각 θ

45°

前提概念ルート (Prerequisite Path) (15 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#L01ベクトルの演算と L1・L2 ノルム・正規化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 4#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式

l = r\theta

STEP 6#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 8#G05正弦定理と余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#L02ベクトルの内積(ドット積)とコサイン類似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 10#L033次元ベクトルの外積(クロス積)と法線ベクトル

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 11#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 12#L04行列の積と線形変換の合成 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 13#G06三角関数の加法定理と倍角の公式

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

STEP 14#L05行列式(Determinant)と逆行列の公式

\det(A) = ad - bc

STEP 15#L072D・3D回転行列と直交行列 (SO(3))

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

🚀 この公式から派生する上位公式 (2)

#L09特異値分解(SVD)と主成分分析(PCA)#L10四元数(クォータニオン)と3D球面線形補間(SLERP)

幾何学的・直観的解説

x축 기저벡터 (1, 0)을 θ만큼 회전시키면 (cos θ, sin θ)가 되어 1열에 들어가고, y축 기저벡터 (0, 1)을 θ만큼 회전시키면 (-sin θ, cos θ)가 되어 2열에 들어갑니다!

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 기저벡터 e₁=(1,0) 과 e₂=(0,1) 이 각도 θ 회전 후 이동한 좌표를 행렬의 열벡터로 배치합니다.
Step 2.2단계: 임의의 점 (x, y) = x·e₁ + y·e₂ 에 선형성을 적용하면 x' = x cos θ - y sin θ, y' = x sin θ + y cos θ
Step 3.3단계: 행렬식 det(R) = cos²θ - (-sin²θ) = 1 이므로 넓이가 보존되며, R(-θ) = R(θ)^T = R(θ)⁻¹ 입니다.

AI・プログラミング実戦活用

Three.js・Unreal・Unityの3Dオブジェクト回転変換および自動運転LiDAR点群マッチング

#3D Engine Rotation#LiDAR Point Cloud#Orthogonal Matrix SO(3)

const rot2D = (x:number, y:number, r:number) => ({ x: x*Math.cos(r) - y*Math.sin(r), y: x*Math.sin(r) + y*Math.cos(r) });

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