#C05 · 微分積分・解析学 (Calculus) · Lv.33Dマインドマップで見る

置換積分法と部分積分法

Brook Taylor & Johann Bernoulli · 1715년

\int u\,dv = uv - \int v\,du,\quad \int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

(uv)' = u'v + uv' \implies uv' = (uv)' - u'v

連鎖律の逆である置換積分と積の微分の逆である部分積分は、フーリエ変換・ガンマ関数・有限要素法(FEM)を解くための必須技法です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

上端 x

\int_0^{2} t e^t\,dt = \Big[(t-1)e^t\Big]_0^{2} = (1)e^{2} + 1 = 8.3891

정적분 ∫₀^2 t·e^t dt

8.3891

부정적분 (x-1)e^x

7.3891

피적분함수 x·e^x

14.7781

前提概念ルート (Prerequisite Path) (11 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 3#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#A06対数の定義と底の変換公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01極限の定義とネイピア数 e の誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#C02微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 8#A07等差・等比数列の和と無限等比級数

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 9#C03積の微分法と合成関数の連鎖律 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 10#C04微分積分学の基本定理と定積分

\int_a^b f(x)\

STEP 11#C05置換積分法と部分積分法

\int u\

🚀 この公式から派生する上位公式 (1)

#C09フーリエ級数とフーリエ変換 (時間↔周波数)

幾何学的・直観的解説

가로 u, 세로 v인 직사각형 넓이 uv의 변화량은 ∫ u dv + ∫ v du 와 같습니다. 따라서 미분하기 쉬운 함수 u와 적분하기 쉬운 함수 dv로 나누면 어려운 적분 ∫ u dv 를 쉬운 적분 ∫ v du 로 바꿀 수 있습니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 곱의 미분법 d(uv) = u dv + v du 를 세웁니다.
Step 2.2단계: 이항하여 정리하면 u dv = d(uv) - v du 가 됩니다.
Step 3.3단계: 양변을 적분하면 ∫ u dv = uv - ∫ v du 부분적분 공식이 완성됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

工学シミュレーションの有限要素法(FEM弱形式)およびフーリエ・ラプラス変換の導関数性質導出

#FEM Physics Sim#Fourier Transform Proof#Signal Laplace

const intXeX = (x: number) => (x - 1) * Math.exp(x) + 1; // ∫_0^x t*e^t dt

微分積分・解析学 (Calculus) — 同分野の関連公式

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