#G04 · 幾何学・三角関数 (Geometry & Trig) · Lv.23Dマインドマップで見る

単位円上の三角関数と基本恒等式

Hipparchus, Aryabhata & Euler · 紀元前140年

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1,\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),1+tan⁡2θ=sec⁡2θP(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta),\quad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

半径1の単位円上の座標(cos θ, sin θ)として三角関数を定義し、あらゆる角度の回転と周期波動を記述します。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター
回転角 θ°
cos⁡(45∘)=0.707,  sin⁡(45∘)=0.707,  cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos(45^\circ) = 0.707, \; \sin(45^\circ) = 0.707, \; \cos^2\theta+\sin^2\theta = 1
cos θ (x좌표)
0.7071
sin θ (y좌표)
0.7071
tan θ (기울기)
1.0000
(0.71, 0.71)

前提概念ルート (Prerequisite Path) (6 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式
STEP 2#A02乗法公式と因数分解の恒等式
STEP 3#A03指数法則と累乗根
STEP 4#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)
STEP 5#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式
STEP 6#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

🚀 この公式から派生する上位公式 (8)

#A09虚数単位 i と複素平面の極形式#G05正弦定理と余弦定理#G06三角関数の加法定理と倍角の公式#G08球面座標系と球の体積・表面積#C07オイラーの公式と世界で最も美しい等式#C09フーリエ級数とフーリエ変換 (時間↔周波数)#L033次元ベクトルの外積(クロス積)と法線ベクトル#L072D・3D回転行列と直交行列 (SO(3))

幾何学的・直観的解説

단위원(반지름 1) 위를 도는 점의 그림자를 x축에 비추면 cos θ, y축에 비추면 sin θ가 됩니다. 반지름이 1인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 언제나 cos²θ + sin²θ = 1² = 1 입니다.

ステップ別 数式導出

  1. Step 1.1단계: 원점 중심, 반지름 1인 단위원 방정식은 x² + y² = 1 입니다.
  2. Step 2.2단계: 각도 θ에 대한 단위원 위의 점 좌표를 x = cos θ, y = sin θ 로 정의합니다.
  3. Step 3.3단계: 이를 원의 방정식에 대입하면 cos²θ + sin²θ = 1 이며, 양변을 cos²θ로 나누면 1 + tan²θ = sec²θ

AI・プログラミング実戦活用

LLM Transformerの位置エンコーディング(RoPE)および3Dゲームの軌道・波動シェーダー

#LLM RoPE Encoding#Wave Shader#Circular Orbit
const posOnCircle = (r: number, rad: number) => ({ x: r * Math.cos(rad), y: r * Math.sin(rad) });

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