#A08 · 代数学・数論 (Algebra) · Lv.23Dマインドマップで見る

二項定理とパスカルの三角形

Blaise Pascal & Isaac Newton · 1654년

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

二項の累乗(a+b)^nを組合せ係数で展開する公式であり、代数学と確率論(二項分布)・微積分を結ぶ架け橋です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

次数 n

選択 k

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10, \quad \sum_{j=0}^{5}\binom{5}{j} = 2^{5} = 32

이항계수 C(5,2)

파스칼 행 총합 2^5

대칭 항 비중

31.25%

前提概念ルート (Prerequisite Path) (4 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

🚀 この公式から派生する上位公式 (6)

#A10合同式とフェルマーの小定理 #G10ベジェ曲線 (Bézier Curve) の媒介変数公式 #C01極限の定義とネイピア数 e の誕生 #C02微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)#P04期待値と分散 (確率変数のモーメント)#P05二項分布とベルヌーイ試行

幾何学的・直観的解説

n개의 (a+b) 괄호 중에서 b를 k번 선택하고 나머지 (n-k)번은 a를 선택하는 경우의 수가 바로 조합 nCk 이므로, a^(n-k)b^k 항의 계수는 정확히 nCk 가 됩니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: (a+b)^n 은 (a+b)(a+b)…(a+b) 의 n개 인수의 곱입니다.
Step 2.2단계: 각 괄호에서 a 또는 b를 하나씩 골라 곱할 때, b를 정확히 k개 고르는 방법의 수는 nCk 가지입니다.
Step 3.3단계: k = 0 부터 n 까지 모든 경우를 합산하면 ∑ nCk a^(n-k) b^k 가 됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

3Dベジェ曲線のバーンスタイン基底多項式および機械学習アンサンブル多数決確率計算

#Bernstein Basis#Dynamic Programming#Combinatorial AI

const nCr = (n: number, k: number): number => k === 0 ? 1 : (n * nCr(n - 1, k - 1)) / k;

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