#G09 · 幾何学・三角関数 (Geometry & Trig) · Lv.23Dマインドマップで見る

オイラーの多面体定理と位相不変量

Leonhard Euler · 1750년

V - E + F = 2,\quad \chi = 2 - 2g

\text{Cube: } 8 - 12 + 6 = 2,\quad \text{Icosahedron: } 12 - 30 + 20 = 2

すべての凸多面体において「頂点(V) - 辺(E) + 面(F) = 2」が常に成り立つという位相幾何学(トポロジー)とグラフ理論の出発点です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

頂点数 V

辺の数 E

面の数 F

V - E + F = 12 - 30 + 20 = 2 \quad (\text{Sphere } \chi=2 \implies F=20)

Euler Characteristic χ

2

Required Faces F

20 (구면 일치)

E/V Ratio

2.50

前提概念ルート (Prerequisite Path) (11 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式

l = r\theta

STEP 4#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 5#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#A04二次方程式の解の公式と判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 7#G04単位円上の三角関数と基本恒等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#G07二次曲線 (放物線・楕円・双曲線) の方程式

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

STEP 9#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 10#G08球面座標系と球の体積・表面積

V = \frac{4}{3}\pi r^3

STEP 11#G09オイラーの多面体定理と位相不変量

V - E + F = 2

幾何学的・直観的解説

다면체에서 면 하나를 떼어내고 평면에 납작하게 펼친 뒤, 삼각형으로 쪼개거나 외곽 모서리를 하나씩 지워나가도 V - E + F 의 값은 절대 변하지 않고 끝내 2로 보존됩니다.

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: 다면체의 한 면을 제거하여 평면 그래프로 펼치면 면의 수가 F-1 이 됩니다.
Step 2.2단계: 다각형 면에 대각선을 하나 그으면 모서리 E가 1 늘고 면 F도 1 늘어 V - E + F 가 불변입니다.
Step 3.3단계: 외곽 삼각형을 하나씩 제거해 마지막 점 1개(V=1, E=0, F=1 → 바깥면 포함 F=2)에 도달하면 V - E + F = 2

AI・プログラミング実戦活用

3Dモデリング・ゲームエンジンのポリゴンメッシュ多様体検証および半導体VLSI回路設計

#3D Mesh Topology#Graph Theory#CAD Manifold Check

const eulerChar = (V: number, E: number, F: number) => V - E + F;

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