#G08 · 幾何学・三角関数 (Geometry & Trig) · Lv.33Dマインドマップで見る

球面座標系と球の体積・表面積

Archimedes & Leonhard Euler · 紀元前225年

V=43πr3,A=4πr2=dVdrV = \frac{4}{3}\pi r^3,\quad A = 4\pi r^2 = \frac{dV}{dr}
(x,y,z)=(rsin⁡ϕcos⁡θ,  rsin⁡ϕsin⁡θ,  rcos⁡ϕ)(x, y, z) = (r\sin\phi\cos\theta,\; r\sin\phi\sin\theta,\; r\cos\phi)

球の体積と表面積の微分関係および緯度・経度・半径(r,θ,φ)を3次元直交座標(x,y,z)へ変換する3Dグラフィックス必須公式です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター
半径 r
方位角 θ°
天頂角 φ°
V=43π(5)3=523.6,  P(x,y,z)=(3.06,3.06,2.50)V = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = 523.6, \; P(x,y,z) = (3.06, 3.06, 2.50)
Volume V
523.60
Surface Area A
314.16
3D Coord (x,y,z)
(3.1, 3.1, 2.5)

前提概念ルート (Prerequisite Path) (10 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式
STEP 2#A03指数法則と累乗根
STEP 3#A01等式の性質と一次方程式
STEP 4#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)
STEP 5#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式
STEP 6#A04二次方程式の解の公式と判別式
STEP 7#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式
STEP 8#G04単位円上の三角関数と基本恒等式
STEP 9#G07二次曲線 (放物線・楕円・双曲線) の方程式
STEP 10#G08球面座標系と球の体積・表面積

🚀 この公式から派生する上位公式 (1)

#G09オイラーの多面体定理と位相不変量

幾何学的・直観的解説

양파 껍질처럼 두께 dr 인 얇은 구면 껍질(넓이 4πr²)들을 r = 0 부터 R 까지 겹겹이 적분하여 쌓으면 구의 부피 ∫ 4πr² dr = (4/3)πR³ 이 됩니다.

ステップ別 数式導出

  1. Step 1.1단계: 천정각 φ에 대해 z축 높이는 z = r cos φ 이고, xy평면에 투영된 반지름은 ρ = r sin φ 입니다.
  2. Step 2.2단계: 방위각 θ에 대해 x = ρ cos θ = r sin φ cos θ, y = ρ sin θ = r sin φ sin θ 로 분해됩니다.
  3. Step 3.3단계: 구의 단면적 π(r² - z²) 을 z = -r 부터 r 까지 적분하면 V = (4/3)πr³ 이 도출됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

3D地球儀の360°全方位テクスチャマッピング、OrbitControlsカメラ制御、量子軌道球面調和関数

#3D Globe Mapping#OrbitControls Camera#Spherical Harmonics
const toXYZ = (r:number, th:number, ph:number) => [r*Math.sin(ph)*Math.cos(th), r*Math.cos(ph), r*Math.sin(ph)*Math.sin(th)];

幾何学・三角関数 (Geometry & Trig) — 同分野の関連公式

ピタゴラスの定理 (三平方の定理)
Lv.1 · Game Physics Distance
#G01
2D・3D座標空間のユークリッド距離公式
Lv.2 · K-Means & KNN ML
#G02
円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式
Lv.1 · Three.js Radians
#G03
単位円上の三角関数と基本恒等式
Lv.2 · LLM RoPE Encoding
#G04
正弦定理と余弦定理
Lv.2 · Inverse Kinematics IK
#G05
三角関数の加法定理と倍角の公式
Lv.3 · Rotation Matrix Proof
#G06