#L01 · 線形代数学 (Linear Algebra) · Lv.13Dマインドマップで見る

ベクトルの演算と L1・L2 ノルム・正規化

Hermann Grassmann & J. W. Gibbs · 1844년

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2},\quad \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|_2}

\|\mathbf{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |v_i|

大きさと向きを持つベクトルの長さ(ノルム)を測り単位ベクトルv̂を作る公式であり、3Dゲームの移動制御やAIのL1/L2正則化の基礎です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

成分 vx

成分 vy

成分 vz

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = 5.000, \quad \hat{\mathbf{v}} = \left(0.60, 0.80, 0.00\right)

유클리드 노름 ||v||₂

5.0000

단위벡터 v̂ (x, y, z)

(0.60, 0.80, 0.00)

맨해튼 노름 ||v||₁

7.00

前提概念ルート (Prerequisite Path) (6 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式

d(P

STEP 6#L01ベクトルの演算と L1・L2 ノルム・正規化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

🚀 この公式から派生する上位公式 (3)

#C08偏微分と勾配ベクトル (∇f 多変数微分)#L02ベクトルの内積(ドット積)とコサイン類似度 #L033次元ベクトルの外積(クロス積)と法線ベクトル

幾何学的・直観的解説

게임에서 위쪽 키와 오른쪽 키를 동시에 누르면 이동 벡터가 (1, 1)이 되어 속도가 √2 ≈ 1.414배 빨라지는 버그가 생깁니다. 이를 L2 노름 ‖v‖로 나누어 정규화(v̂)하면 어느 방향이든 속도가 1로 일정해집니다!

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: n차원 벡터 v = (v₁, v₂, …, v_n) 의 원점 거리는 피타고라스 정리에 의해 ‖v‖₂ = √(v₁² + v₂² + … + v_n²)
Step 2.2단계: 각 성분을 ‖v‖₂ 로 나눈 벡터 v̂ = v / ‖v‖₂ 의 길이를 재면 ‖v̂‖₂ = ‖v‖₂ / ‖v‖₂ = 1 이 됩니다.
Step 3.3단계: 절댓값 합 ‖v‖₁ = ∑|v_i| 는 격자 도로를 따라 이동하는 맨해튼 거리(L1 Norm)를 나타냅니다.

AI・プログラミング実戦活用

深層学習のL1/L2正則化(Weight Decay)、LayerNorm、および3Dゲームの斜め移動速度正規化

#L1/L2 Regularization#3D Vector Normalize#Embedding Norm

const norm2 = Math.hypot(vx, vy, vz); const unit = [vx/norm2, vy/norm2, vz/norm2];

線形代数学 (Linear Algebra) — 同分野の関連公式

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