#G06 · 幾何学・三角関数 (Geometry & Trig) · Lv.33Dマインドマップで見る
三角関数の加法定理と倍角の公式
Claudius Ptolemy · 150년
2つの角の和・差の三角関数を個別の角の積へ分解する公式であり、2D回転行列の積・三角関数の微分証明・周波数変調の核心です。
🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター
角度 α°
角度 β°
sin(α+β) = sin(75°)
0.9659
cos(α+β) = cos(75°)
0.2588
배각 sin(2α)
1.0000
前提概念ルート (Prerequisite Path) (9 STEP)
ルート解析機順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。
STEP 1#A01等式の性質と一次方程式
STEP 2#A02乗法公式と因数分解の恒等式
STEP 3#A03指数法則と累乗根
STEP 4#G01ピタゴラスの定理 (三平方の定理)
STEP 5#G03円周率 π と弧度法(ラジアン)・扇形の公式
STEP 6#G022D・3D座標空間のユークリッド距離公式
STEP 7#G04単位円上の三角関数と基本恒等式
STEP 8#G05正弦定理と余弦定理
STEP 9#G06三角関数の加法定理と倍角の公式
🚀 この公式から派生する上位公式 (2)
幾何学的・直観的解説
단위원 위의 두 점 P(cos α, sin α)와 Q(cos β, sin β) 사이의 거리를 유클리드 거리 공식으로 구한 값과, 끼인각 (α-β)에 대해 제2코사인법칙으로 구한 값을 같다고 놓으면 즉시 증명됩니다.
ステップ別 数式導出
- Step 1.1단계: 단위원 위 두 점 A(cos α, sin α), B(cos β, sin β) 사이의 거리 제곱은 (cos α - cos β)² + (sin α - sin β)² = 2 - 2(cos α cos β + sin α sin β)
- Step 2.2단계: 한편 원점과 두 점 A, B가 이루는 삼각형에서 제2코사인법칙을 쓰면 AB² = 1² + 1² - 2·1·1·cos(α - β) = 2 - 2cos(α - β)
- Step 3.3단계: 두 식을 비교하면 cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 가 성립합니다.
AI・プログラミング実戦活用
2D・3D回転行列の合成 R(α)R(β)=R(α+β) の導出および無線通信QAM変復調
#Rotation Matrix Proof#5G QAM Modulation#Audio DSP
const sinAdd = (a: number, b: number) => Math.sin(a)*Math.cos(b) + Math.cos(a)*Math.sin(b);