#P05 · 確率・統計・AI最適化 (Probability & AI) · Lv.23Dマインドマップで見る

二項分布とベルヌーイ試行

Jacob Bernoulli · 1713년

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad X \sim B(n, p)

E[X] = np, \quad \operatorname{Var}(X) = np(1-p)

成功確率pの独立なベルヌーイ試行をn回繰り返したときにk回成功する確率分布で、A/Bテストや離散シミュレーションの基礎です。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

試行回数 n

成功回数 k

成功確率 p

P(X=4) = \binom{12}{4}(0.3)^{4}(0.70)^{8} = 23.11\%

확률 P(X = 4)

23.11%

기댓값 E[X] = np

3.60

표준편차 σ = √npq

1.59

前提概念ルート (Prerequisite Path) (8 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#P01順列と組み合わせ (場合の数)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 5#P02条件付き確率と乗法定理

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 6#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#P04期待値と分散 (確率変数のモーメント)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 8#P05二項分布とベルヌーイ試行

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

🚀 この公式から派生する上位公式 (1)

#P06正規分布 (ガウス分布) と標準化 Zスコア

幾何学的・直観的解説

(p + q)^n을 이항정리로 전개했을 때 k번째 항이 곧 n번 중 k번 성공할 확률과 정확히 일치합니다.

ステップ別数式導出

Step 1.특정 순서로 k번 성공하고 (n-k)번 실패할 확률은 독립성에 의해 p^k (1-p)^(n-k)입니다.
Step 2.n번의 시행 중 성공이 일어날 k개의 위치를 고르는 방법의 수는 조합 C(n, k)가지입니다.
Step 3.따라서 P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

AI・プログラミング実戦活用

広告CTRのA/Bテスト有意性検定、深層学習のDropoutマスク確率モデル、ゲームのガチャ確率シミュレーションに使われます。

#A/B Testing#Dropout Regularization#CTR Modeling#Game Gacha Math

const binomPMF = (n, k, p) => nCr(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);

確率・統計・AI最適化 (Probability & AI) — 同分野の関連公式

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