#C03 · 微分積分・解析学 (Calculus) · Lv.33Dマインドマップで見る

積の微分法と合成関数の連鎖律 (Chain Rule)

Gottfried Wilhelm Leibniz · 1676년

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx},\quad (uv)' = u'v + uv'

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

合成関数の微分を各段階の導関数の積へと分解する連鎖律(Chain Rule)は、現代AIディープラーニングの誤差逆伝播法(Backpropagation)そのものです。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

内部係数 a

外部次数 n

入力 x

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = 3(3.0)^{2} \cdot (2) = 54.00

합성미분 dy/dx (역전파)

54.000

외부 미분 dy/du = 3u^2

27.000

내부 미분 du/dx = a

2.000

前提概念ルート (Prerequisite Path) (8 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#A06対数の定義と底の変換公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01極限の定義とネイピア数 e の誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#C02微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 8#C03積の微分法と合成関数の連鎖律 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

🚀 この公式から派生する上位公式 (3)

#C05置換積分法と部分積分法 #C08偏微分と勾配ベクトル (∇f 多変数微分)#P10ソフトマックス関数 (Softmax) と確率的勾配降下法 (SGD)

幾何学的・直観的解説

톱니바퀴 A가 1바퀴 돌 때 B가 3바퀴 돌고(du/dx=3), B가 1바퀴 돌 때 C가 2바퀴 돈다면(dy/du=2), A가 1바퀴 돌 때 C는 2 × 3 = 6바퀴 돕니다(dy/dx = dy/du · du/dx).

ステップ別数式導出

Step 1.1단계: u = g(x), y = f(u) 일 때 증분 비율은 Δy/Δx = (Δy/Δu) · (Δu/Δx) 로 분리됩니다.
Step 2.2단계: Δx → 0 일 때 연속성에 의해 Δu → 0 이므로 각각의 극한이 도함수 f'(u) 와 g'(x) 로 수렴합니다.
Step 3.3단계: 다층 신경망 y = f_L(...f_2(f_1(x))) 에서도 출력 오차부터 입력층까지 국소 미분을 곱해 역전파합니다.

AI・プログラミング実戦活用

ディープラーニング誤差逆伝播法(Backpropagation)およびPyTorch自動微分(Autograd)の中核原理

#Deep Learning Backprop#PyTorch Autograd#Neural Net Training

const dL_dw = dL_dy * dy_du * du_dw; // Backpropagation Chain Rule

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