#P06 · 確率・統計・AI最適化 (Probability & AI) · Lv.33Dマインドマップで見る

正規分布 (ガウス分布) と標準化 Zスコア

Carl Friedrich Gauss & Abraham de Moivre · 1809년

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma}

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, \quad P(|Z|\le 1.96) \approx 0.95

自然界の誤差や統計データを支配する釣鐘型の連続確率分布で、平均 μ と標準偏差 σ の2つだけで完全に定まります。

🧮 即時公式計算機 & グラフプロッター

観測値 x

平均 μ

標準偏差 σ

Z = \frac{115 - 100}{15} = 1.000, \quad P(X \le 115) = 84.13\%

표준화 점수 Z-Score

+1.000σ

누적확률 P(X ≤ x)

84.13%

상위 백분위 Top %

15.87%

前提概念ルート (Prerequisite Path) (14 STEP)

ルート解析機

順番にクリックすると基礎から目標公式までの3Dネオン経路を辿れます。

STEP 1#A01等式の性質と一次方程式

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乗法公式と因数分解の恒等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指数法則と累乗根

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#P01順列と組み合わせ (場合の数)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 5#A06対数の定義と底の変換公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 6#A08二項定理とパスカルの三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#A07等差・等比数列の和と無限等比級数

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#C02微分係数と導関数 (瞬間変化率と接線)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 9#P02条件付き確率と乗法定理

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 10#C01極限の定義とネイピア数 e の誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 11#P04期待値と分散 (確率変数のモーメント)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 12#P05二項分布とベルヌーイ試行

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

STEP 13#C04微分積分学の基本定理と定積分

\int_a^b f(x)\

STEP 14#P06正規分布 (ガウス分布) と標準化 Zスコア

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

🚀 この公式から派生する上位公式 (1)

#P07中心極限定理 (CLT) と信頼区間

幾何学的・直観的解説

평균에서 멀어질수록 확률밀도가 e^(-z²/2)의 속도로 급격히 감소하며, ±1σ 안에 약 68.3%, ±2σ 안에 약 95.4%의 데이터가 들어옵니다.

ステップ別数式導出

Step 1.가우스 적분 ∫_{-∞}^{∞} e^(-t²/2) dt = √(2π)를 정규화 상수로 사용해 전체 면적을 1로 맞춥니다.
Step 2.표준화 변수 Z = (X - μ)/σ로 치환하면 어떤 정규분포든 평균 0, 분산 1인 표준정규분포 N(0,1)로 변환됩니다.

AI・プログラミング実戦活用

画像生成AI(Diffusionモデル)のガウスノイズ付加・除去、VAEの潜在空間、3D Gaussian Splatting(3DGS)の核心式です。

#Diffusion Models#3D Gaussian Splatting#VAE Latent Space#Anomaly Detection

const normalPDF = (x, mu, sig) => Math.exp(-0.5 * ((x - mu) / sig) ** 2) / (sig * Math.sqrt(2 * Math.PI));

確率・統計・AI最適化 (Probability & AI) — 同分野の関連公式

Lv.2 · LLM Next-Token

Lv.2 · Reinforcement Learning

Lv.4 · Mini-Batch SGD

#P07