#A07 · 대수학 · 수론 (Algebra) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

등차·등비수열의 합과 무한등비급수

가우스 · 아르키메데스 · 1785년

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r},\quad S_\infty = \frac{a}{1 - r} \;(|r|<1)

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

일정한 차이 또는 비율로 증가하는 수열의 총합을 단 한 번의 공식으로 계산하며, 공비 |r|<1 일 때 무한히 더한 값이 유한한 극한값 a/(1-r) 로 수렴함을 보여줍니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

첫째항 a

공비 r

항수 n

S_{8} = \frac{10(1 - 0.5^{8})}{1 - 0.5} = 19.922

부분합 S_8

19.9219

무한합 S_∞ = a/(1-r)

20.0000

n번째 항 a_n

0.0781

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (3 STEP)

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

S_n 에 공비 r을 곱한 r·S_n 을 원래 S_n 에서 빼면 중간 항들이 도미노처럼 모두 지워지고 첫째항 a와 마지막 항 ar^n 만 남습니다(망원급수 원리).

Step 1.1단계: S_n = a + ar + ar² + … + ar^(n-1) 의 양변에 r을 곱합니다 → rS_n = ar + ar² + … + ar^n
Step 2.2단계: 두 식을 빼면 (1 - r)S_n = a - ar^n = a(1 - r^n) 이 됩니다.
Step 3.3단계: r ≠ 1 일 때 S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) 이며, |r| < 1 이고 n → ∞ 이면 r^n → 0 이 되어 S_∞ = a/(1 - r)

강화학습(RL) 할인 누적 보상(Discounted Return γ^t) 수렴 계산 및 금융 복리·연금 현재가치 산출

#RL Discounted Return#Quant Finance DCF#Algorithm Loop Analysis

const geoSum = (a: number, r: number, n: number) => a * (1 - Math.pow(r, n)) / (1 - r);