#C05 · 미적분 · 해석학 (Calculus & Analysis) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

치환적분과 부분적분법

브룩 테일러 · 요한 베르누이 · 1715년

\int u\,dv = uv - \int v\,du,\quad \int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

(uv)' = u'v + uv' \implies uv' = (uv)' - u'v

연쇄법칙을 거꾸로 돌린 치환적분과 곱의 미분법을 거꾸로 돌린 부분적분법은 복잡한 초월함수 곱(예: x·e^x, f(t)e^(-iωt))을 적분하여 푸리에 변환·감마함수·유한요소해석(FEM)을 풀어내는 필수 기법입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

적분 상한 x (∫₀ˣ t·eᵗ dt)

\int_0^{2} t e^t\,dt = \Big[(t-1)e^t\Big]_0^{2} = (1)e^{2} + 1 = 8.3891

정적분 ∫₀^2 t·e^t dt

8.3891

부정적분 (x-1)e^x

7.3891

피적분함수 x·e^x

14.7781

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (11 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 8#A07등차·등비수열의 합과 무한등비급수

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 9#C03곱의 미분법과 합성함수 연쇄법칙 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 10#C04미적분학의 기본정리와 정적분

\int_a^b f(x)\

STEP 11#C05치환적분과 부분적분법

\int u\

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (1)

#C09푸리에 급수와 푸리에 변환 (시간 ↔ 주파수)

기하학적·직관적 원리 해설

가로 u, 세로 v인 직사각형 넓이 uv의 변화량은 ∫ u dv + ∫ v du 와 같습니다. 따라서 미분하기 쉬운 함수 u와 적분하기 쉬운 함수 dv로 나누면 어려운 적분 ∫ u dv 를 쉬운 적분 ∫ v du 로 바꿀 수 있습니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 곱의 미분법 d(uv) = u dv + v du 를 세웁니다.
Step 2.2단계: 이항하여 정리하면 u dv = d(uv) - v du 가 됩니다.
Step 3.3단계: 양변을 적분하면 ∫ u dv = uv - ∫ v du 부분적분 공식이 완성됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

공학 시뮬레이션 유한요소해석(FEM 약형 정식화) 및 푸리에·라플라스 변환 도함수 성질 유도

#FEM Physics Sim#Fourier Transform Proof#Signal Laplace

const intXeX = (x: number) => (x - 1) * Math.exp(x) + 1; // ∫_0^x t*e^t dt

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