#G04 · 기하 · 삼각함수 (Geometry & Trig) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

히파르코스 · 아리아바타 · 오일러 · 기원전 140년

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1,\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),1+tan⁡2θ=sec⁡2θP(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta),\quad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

반지름이 1인 단위원 위의 좌표 (cos θ, sin θ)로 삼각함수를 정의하여 직각삼각형의 한계를 넘어 모든 실수 각도의 주기적 회전·파동 현상을 수식화합니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터
회전 각도 θ°
cos⁡(45∘)=0.707,  sin⁡(45∘)=0.707,  cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos(45^\circ) = 0.707, \; \sin(45^\circ) = 0.707, \; \cos^2\theta+\sin^2\theta = 1
cos θ (x좌표)
0.7071
sin θ (y좌표)
0.7071
tan θ (기울기)
1.0000
(0.71, 0.71)

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (6 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식
STEP 2#A02곱셈공식과 인수분해 항등식
STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근
STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)
STEP 5#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식
STEP 6#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (8)

#A09허수 단위 i와 복소평면 극형식#G05사인법칙과 제2코사인법칙#G06삼각함수 덧셈정리와 배각공식#G08구면좌표계 변환과 구의 부피·겉넓이#C07오일러 공식과 세상에서 가장 아름다운 등식#C09푸리에 급수와 푸리에 변환 (시간 ↔ 주파수)#L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터#L072D·3D 회전행렬과 직교행렬 (R^T R = I)

기하학적·직관적 원리 해설

단위원(반지름 1) 위를 도는 점의 그림자를 x축에 비추면 cos θ, y축에 비추면 sin θ가 됩니다. 반지름이 1인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 언제나 cos²θ + sin²θ = 1² = 1 입니다.

단계별 수식 유도 과정

  1. Step 1.1단계: 원점 중심, 반지름 1인 단위원 방정식은 x² + y² = 1 입니다.
  2. Step 2.2단계: 각도 θ에 대한 단위원 위의 점 좌표를 x = cos θ, y = sin θ 로 정의합니다.
  3. Step 3.3단계: 이를 원의 방정식에 대입하면 cos²θ + sin²θ = 1 이며, 양변을 cos²θ로 나누면 1 + tan²θ = sec²θ

AI · 프로그래밍 실전 활용처

LLM 트랜스포머 위치 인코딩(RoPE / Sinusoidal Positional Encoding) 및 3D 게임 원운동·파동 셰이더

#LLM RoPE Encoding#Wave Shader#Circular Orbit
const posOnCircle = (r: number, rad: number) => ({ x: r * Math.cos(rad), y: r * Math.sin(rad) });

기하 · 삼각함수 (Geometry & Trig) — 함께 탐험할 연관 공식

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