#G10 · 기하 · 삼각함수 (Geometry & Trig) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

베지에 곡선(Bézier Curve) 매개변수 공식

피에르 베지에 · 폴 드 카스텔조 · 1962년

\mathbf{B}(t) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k \quad (0 \le t \le 1)

\mathbf{B}_2(t) = (1-t)^2\mathbf{P}_0 + 2(1-t)t\mathbf{P}_1 + t^2\mathbf{P}_2

이항정리의 번스타인 다항식 가중치를 사용하여 몇 개의 제어점(Control Points)만으로 매끄러운 자유 곡선을 생성하는 현대 컴퓨터 그래픽스·폰트·3D 카메라 경로의 표준 공식입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

보간 매개변수 t

제어점 높이 P1y

B_2(0.50) = 0.25P_0 + 0.50P_1(8) + 0.25P_2 = 4.500

베지에 곡선 높이 B_y(0.5)

4.500

번스타인 가중치 합 ∑B_k

1.000

제어점 P₁ 가중치 2(1-t)t

50.0%

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (9 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 5#A04이차방정식 근의 공식과 판별식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 6#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 8#G07이차곡선 (포물선·타원·쌍곡선) 방정식

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

STEP 9#G10베지에 곡선(Bézier Curve) 매개변수 공식

\mathbf{B}(t) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k \quad (0 \le t \le 1)

기하학적·직관적 원리 해설

선분 P₀P₁ 위의 내분점과 선분 P₁P₂ 위의 내분점을 구한 뒤, 그 두 점을 다시 비율 t:(1-t)로 선형보간(Lerp)하여 이으면 마법처럼 부드러운 포물선 곡선이 그려집니다(드 카스텔조 알고리즘).

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 1차 선형보간 L₀(t) = (1-t)P₀ + tP₁ 과 L₁(t) = (1-t)P₁ + tP₂ 를 구합니다.
Step 2.2단계: 두 점을 다시 보간하면 B₂(t) = (1-t)L₀(t) + tL₁(t) = (1-t)²P₀ + 2(1-t)tP₁ + t²P₂
Step 3.3단계: 이를 n차로 반복하면 이항정리 계수 nCk (1-t)^(n-k) t^k 가 가중치로 나타납니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

SVG·CSS 애니메이션 이징(cubic-bezier), 트루타입 폰트 렌더링 및 자율주행·게임 3D 카메라 매끄러운 궤적 생성

#SVG & Font Rendering#CSS cubic-bezier#3D Camera Splines

const quadBezier = (p0:number, p1:number, p2:number, t:number) => (1-t)*(1-t)*p0 + 2*(1-t)*t*p1 + t*t*p2;

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