#P06 · 확률 · 통계 · AI 최적화 (Probability & AI) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

정규분포 (가우시안 분포)와 표준화 Z

카를 프리드리히 가우스 · 드무아브르 · 1809년

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma}

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, \quad P(|Z|\le 1.96) \approx 0.95

자연계 오차와 통계 데이터의 분포를 지배하는 종 모양(Bell Curve) 연속확률분포로, 평균 μ와 표준편차 σ 두 파라미터만으로 완전히 결정됩니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

관측값 x

평균 μ

표준편차 σ

Z = \frac{115 - 100}{15} = 1.000, \quad P(X \le 115) = 84.13\%

표준화 점수 Z-Score

+1.000σ

누적확률 P(X ≤ x)

84.13%

상위 백분위 Top %

15.87%

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (14 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#P01순열과 조합 (경우의 수)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 5#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 6#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#A07등차·등비수열의 합과 무한등비급수

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 9#P02조건부확률과 곱셈정리

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 10#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 11#P04기댓값과 분산 (확률변수의 모멘트)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 12#P05이항분포와 베르누이 시행

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

STEP 13#C04미적분학의 기본정리와 정적분

\int_a^b f(x)\

STEP 14#P06정규분포 (가우시안 분포)와 표준화 Z

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (1)

#P07중심극한정리 (CLT)와 신뢰구간

기하학적·직관적 원리 해설

평균에서 멀어질수록 확률밀도가 e^(-z²/2)의 속도로 급격히 감소하며, ±1σ 안에 약 68.3%, ±2σ 안에 약 95.4%의 데이터가 들어옵니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.가우스 적분 ∫_{-∞}^{∞} e^(-t²/2) dt = √(2π)를 정규화 상수로 사용해 전체 면적을 1로 맞춥니다.
Step 2.표준화 변수 Z = (X - μ)/σ로 치환하면 어떤 정규분포든 평균 0, 분산 1인 표준정규분포 N(0,1)로 변환됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

스테이블 디퓨전(Diffusion Models)의 가우시안 노이즈 추가·제거 과정, VAE(변분 오토인코더) 잠재공간, 가우시안 스플래팅(3DGS) 렌더링의 핵심 수식입니다.

#Diffusion Models#3D Gaussian Splatting#VAE Latent Space#Anomaly Detection

const normalPDF = (x, mu, sig) => Math.exp(-0.5 * ((x - mu) / sig) ** 2) / (sig * Math.sqrt(2 * Math.PI));

확률 · 통계 · AI 최적화 (Probability & AI) — 함께 탐험할 연관 공식

Lv.2 · LLM Next-Token

Lv.2 · Reinforcement Learning

Lv.4 · Mini-Batch SGD

#P07