#L08 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.43D 마인드맵에서 보기

고윳값(Eigenvalue)과 고유벡터 방정식

오귀스탱 코시 · 다비트 힐베르트 · 1829년

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff \det(A - \lambda I) = 0

\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A),\quad \prod \lambda_i = \det(A)

복잡한 행렬 A를 곱해도 방향이 전혀 바뀌지 않고 오직 크기만 λ배로 늘어나거나 줄어드는 '변환의 핵심 회전축(고유벡터 v)'과 '팽창 배율(고윳값 λ)'을 찾아내는 선형대수학의 꽃입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

대각 성분 A₁₁

대칭 비대각 A₁₂=A₂₁

대각 성분 A₂₂

\lambda^2 - 5.0\lambda + (0.0) = 0 \implies \lambda_1 = 5.00, \; \lambda_2 = 0.00

제1 고윳값 λ₁ (주성분)

5.0000

제2 고윳값 λ₂

0.0000

대각합 tr(A) = λ₁+λ₂

5.00

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (16 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 2#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 3#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 4#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 5#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 6#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 7#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 8#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#A04이차방정식 근의 공식과 판별식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 13#A05근과 계수의 관계 (비에트 정리)

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}

STEP 14#L04행렬 곱셈과 선형변환 합성 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 15#L05행렬식(Determinant)과 역행렬 공식

\det(A) = ad - bc

STEP 16#L08고윳값(Eigenvalue)과 고유벡터 방정식

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff \det(A - \lambda I) = 0

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (1)

#L09특이값 분해(SVD)와 주성분 분석(PCA)

기하학적·직관적 원리 해설

지구본을 회전시킬 때 북극과 남극을 잇는 자전축 위의 점들은 회전 후에도 방향이 바뀌지 않고 제자리에 머무릅니다. 이처럼 선형변환의 본질적인 '뼈대 축'을 찾아내는 것이 고윳값 분해입니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: Av = λv 를 이항하여 (A - λI)v = 0 으로 정리합니다.
Step 2.2단계: 영벡터가 아닌 해 v ≠ 0 가 존재하려면 행렬 (A - λI)가 역행렬을 갖지 않아야 하므로 특성방정식 det(A - λI) = 0 이 성립해야 합니다.
Step 3.3단계: 2×2 행렬의 경우 λ² - tr(A)λ + det(A) = 0 을 근의 공식으로 풀어 고윳값 λ₁, λ₂ 를 구합니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

구글 검색엔진 PageRank 알고리즘, 양자역학 해밀토니안 에너지 준위(Hψ = Eψ) 및 교량·건물 공진 주파수 해석

#Google PageRank#Quantum Mechanics Hψ=Eψ#Spectral Graph Theory

const tr = a + d; const det = a*d - b*c; const l1 = (tr + Math.sqrt(tr*tr - 4*det))/2;

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