#L02 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

조지프 기브스 · 올리버 헤비사이드 · 1881년

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

\text{sim}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}

두 벡터의 같은 위치 성분끼리 곱해 더하는 아주 단순한 대수 연산(∑ a_i b_i)이 놀랍게도 기하학적 사잇각(cos θ)과 완전히 같다는 정리로, AI 벡터 데이터베이스(RAG)와 3D 그래픽 조명 연산의 최고 핵심 공식입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

벡터 a_x

벡터 a_y

벡터 b_x

벡터 b_y

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (4)(2) + (2)(4) = 16.0, \quad \cos\theta = 0.800

내적 a · b

16.000

코사인 유사도 cos θ

0.8000

두 벡터 사잇각 θ

36.9°

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (10 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 5#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 9#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 10#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (5)

#L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터 #L04행렬 곱셈과 선형변환 합성 (GEMM)#L09특이값 분해(SVD)와 주성분 분석(PCA)#L10사원수(Quaternion)와 3D 구면선형보간(SLERP)#P08상관계수와 최소제곱 선형회귀 (OLS)

기하학적·직관적 원리 해설

두 벡터가 같은 방향(0°)을 바라보면 cos θ = 1 (유사도 최대), 수직(90°)이면 내적이 0 (무관함/직교), 반대 방향(180°)이면 -1 이 됩니다. 게임에서 적이 내 시야각 안에 있는지, 태양빛이 표면에 얼마나 수직으로 비치는지 단 한 줄로 판별합니다!

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 두 벡터 a, b와 차이 벡터 (a - b)가 이루는 삼각형에 제2코사인법칙을 적용합니다 → ‖a - b‖² = ‖a‖² + ‖b‖² - 2‖a‖‖b‖cos θ
Step 2.2단계: 좌변을 성분별로 전개하면 ∑(a_i - b_i)² = ∑a_i² + ∑b_i² - 2∑a_i b_i 입니다.
Step 3.3단계: 양변의 ‖a‖² + ‖b‖² 을 소거하고 -2로 나누면 ∑ a_i b_i = ‖a‖‖b‖cos θ 가 완벽히 증명됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

ChatGPT·LLM 어텐션(Q·K^T 내적) 및 임베딩 벡터 DB 검색(Cosine Similarity), 3D 그래픽스 램버트 조명(N·L) 셰이더

#LLM Self-Attention Q·K#RAG Vector DB#3D Lighting Shader

const cosSim = (a:number[], b:number[]) => dot(a,b) / (norm(a) * norm(b));

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