#C10 · 미적분 · 해석학 (Calculus & Analysis) · Lv.43D 마인드맵에서 보기

미분방정식과 감쇠 조화진동자 (물리·생성형 AI)

아이작 뉴턴 · 오일러 · 달랑베르 · 1743년

m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0,\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

x(t) = A e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \phi),\quad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}

위치 x, 속도 dx/dt, 가속도 d²x/dt² 사이의 관계식을 풀어 미래의 운동 궤적을 예측하는 방정식으로, 자동차 서스펜션·게임 물리 스프링부터 최신 생성형 이미지 AI(Diffusion ODE)까지 구동합니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

질량 m

감쇠 계수 c

용수철 상수 k

\omega_0 = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2.00, \; \zeta = 0.15 \implies x(t) = e^{-0.30t}\cos(1.98t)

고유 각진동수 ω₀ = √(k/m)

2.000 rad/s

감쇠비 ζ = c / (2√mk)

0.150 (부족감쇠 진동)

진동 주기 T = 2π/ω_d

3.18 s

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (17 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 2#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 3#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 5#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 6#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 7#A07등차·등비수열의 합과 무한등비급수

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 9#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 10#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 11#A04이차방정식 근의 공식과 판별식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 12#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 13#C04미적분학의 기본정리와 정적분

\int_a^b f(x)\

STEP 14#A09허수 단위 i와 복소평면 극형식

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 15#C06테일러 급수와 매클로린 다항 근사

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 16#C07오일러 공식과 세상에서 가장 아름다운 등식

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 17#C10미분방정식과 감쇠 조화진동자 (물리·생성형 AI)

m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0

기하학적·직관적 원리 해설

해 x(t) = e^(λt) 를 대입하면 미분방정식이 이차방정식 mλ² + cλ + k = 0 (특성방정식)으로 바뀝니다! 판별식 D < 0 이면 복소수 근이 나와 오일러 공식에 의해 진동하면서 서서히 멈추는 파동이 됩니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 뉴턴 제2법칙 F = ma 에 복원력 -kx 와 마찰 감쇠력 -c(dx/dt) 를 대입합니다.
Step 2.2단계: x(t) = e^(λt) 를 대입하면 특성방정식 mλ² + cλ + k = 0 을 얻습니다.
Step 3.3단계: 근의 공식과 오일러 공식을 적용하면 감쇠비 ζ에 따라 부족감쇠(진동)·임계감쇠·과감쇠 해가 도출됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

생성형 이미지 AI(Stable Diffusion 확률미분방정식/ODE 솔버), React Spring UI 물리 애니메이션 및 차량 서스펜션 제어

#Diffusion AI ODE#Spring Physics UI#Control Engineering

const zeta = c / (2 * Math.sqrt(m * k)); const w0 = Math.sqrt(k / m);

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