#L01 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.13D 마인드맵에서 보기

벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

헤르만 그라스만 · 조지프 기브스 · 1844년

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2},\quad \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|_2}

\|\mathbf{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |v_i|

크기와 방향을 동시에 가지는 벡터의 길이(Norm)를 측정하고 길이를 1로 맞춘 단위벡터(v̂)를 만드는 공식으로, 3D 게임 캐릭터 이동 방향 제어와 AI 가중치 정규화(L1 Lasso / L2 Ridge)의 기초입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

성분 vx

성분 vy

성분 vz

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = 5.000, \quad \hat{\mathbf{v}} = \left(0.60, 0.80, 0.00\right)

유클리드 노름 ||v||₂

5.0000

단위벡터 v̂ (x, y, z)

(0.60, 0.80, 0.00)

맨해튼 노름 ||v||₁

7.00

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (6 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 6#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (3)

#C08편미분과 그래디언트 벡터 (∇f 다변수 미분)#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도 #L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터

기하학적·직관적 원리 해설

게임에서 위쪽 키와 오른쪽 키를 동시에 누르면 이동 벡터가 (1, 1)이 되어 속도가 √2 ≈ 1.414배 빨라지는 버그가 생깁니다. 이를 L2 노름 ‖v‖로 나누어 정규화(v̂)하면 어느 방향이든 속도가 1로 일정해집니다!

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: n차원 벡터 v = (v₁, v₂, …, v_n) 의 원점 거리는 피타고라스 정리에 의해 ‖v‖₂ = √(v₁² + v₂² + … + v_n²)
Step 2.2단계: 각 성분을 ‖v‖₂ 로 나눈 벡터 v̂ = v / ‖v‖₂ 의 길이를 재면 ‖v̂‖₂ = ‖v‖₂ / ‖v‖₂ = 1 이 됩니다.
Step 3.3단계: 절댓값 합 ‖v‖₁ = ∑|v_i| 는 격자 도로를 따라 이동하는 맨해튼 거리(L1 Norm)를 나타냅니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

딥러닝 가중치 감쇠(L2 Weight Decay / L1 Lasso 정규화), LayerNorm 및 3D 게임 대각선 이동 속도 보정(Normalize)

#L1/L2 Regularization#3D Vector Normalize#Embedding Norm

const norm2 = Math.hypot(vx, vy, vz); const unit = [vx/norm2, vy/norm2, vz/norm2];

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